はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

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1. 問題の内容**

問題は以下の通りです。

[1] 次の不定積分を計算せよ。

(1) $\int \cos^{-1} x \, dx$

(2) $\int \frac{1}{x^2 - 3x - 10} \, dx$

(3) $\int \frac{1}{(x-2)^2 (x^2 + 1)} \, dx$

(4) $\int \frac{1 - \cos x}{\sin x} \, dx$

[2] 次の関数を微分せよ。(2) については陰関数 $y = y(x)$ の導関数 $\frac{dy}{dx}$ を $x, y$ の式で表せ。

(1) $y = x \tan^{-1} x - \log \sqrt{1 + x^2}$

(2) $x^3 + 3xy + y^3 = 0$

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2. 解き方の手順**

[1] 不定積分の計算

(1) $\int \cos^{-1} x \, dx$

部分積分を用います。$u = \cos^{-1} x$, $dv = dx$ とおくと、$du = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} dx$, $v = x$ となります。

したがって、

$\int \cos^{-1} x \, dx = x \cos^{-1} x - \int x \left( -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \right) dx$

$= x \cos^{-1} x + \int \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} dx$

ここで、$t = 1 - x^2$ とおくと、$dt = -2x \, dx$ なので、$\int \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} dx = -\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{t}} dt = -\sqrt{t} = -\sqrt{1 - x^2}$

よって、

$\int \cos^{-1} x \, dx = x \cos^{-1} x - \sqrt{1 - x^2} + C$

(2) $\int \frac{1}{x^2 - 3x - 10} \, dx$

$\frac{1}{x^2 - 3x - 10} = \frac{1}{(x - 5)(x + 2)}$

部分分数分解を行うと、

$\frac{1}{(x - 5)(x + 2)} = \frac{A}{x - 5} + \frac{B}{x + 2}$

$1 = A(x + 2) + B(x - 5)$

$x = 5$ のとき、$1 = 7A$ より $A = \frac{1}{7}$

$x = -2$ のとき、$1 = -7B$ より $B = -\frac{1}{7}$

したがって、

$\int \frac{1}{x^2 - 3x - 10} \, dx = \frac{1}{7} \int \left( \frac{1}{x - 5} - \frac{1}{x + 2} \right) dx = \frac{1}{7} (\log |x - 5| - \log |x + 2|) + C = \frac{1}{7} \log \left| \frac{x - 5}{x + 2} \right| + C$

(3) $\int \frac{1}{(x-2)^2 (x^2 + 1)} \, dx$

部分分数分解を行うと、

$\frac{1}{(x-2)^2 (x^2 + 1)} = \frac{A}{x-2} + \frac{B}{(x-2)^2} + \frac{Cx + D}{x^2 + 1}$

$1 = A(x-2)(x^2+1) + B(x^2+1) + (Cx+D)(x-2)^2$

$1 = A(x^3 - 2x^2 + x - 2) + B(x^2 + 1) + (Cx+D)(x^2 - 4x + 4)$

$1 = A(x^3 - 2x^2 + x - 2) + B(x^2 + 1) + C(x^3 - 4x^2 + 4x) + D(x^2 - 4x + 4)$

$1 = (A+C)x^3 + (-2A+B-4C+D)x^2 + (A+4C-4D)x + (-2A+B+4D)$

係数比較すると

$A+C = 0$

$-2A+B-4C+D = 0$

$A+4C-4D = 0$

$-2A+B+4D = 1$

$A = -C$

$-2(-C) + B - 4C + D = 0 \Rightarrow B - 2C + D = 0$

$-C + 4C - 4D = 0 \Rightarrow 3C - 4D = 0$

$-2(-C) + B + 4D = 1 \Rightarrow B + 2C + 4D = 1$

$3C = 4D$

$B = 2C - D = 2C - \frac{3}{4}C = \frac{5}{4}C$

$\frac{5}{4}C + 2C + 4(\frac{3}{4}C) = 1$

$\frac{5}{4}C + 2C + 3C = 1$

$(\frac{5}{4} + 5)C = 1$

$\frac{25}{4}C = 1$

$C = \frac{4}{25}$

$A = -\frac{4}{25}$

$D = \frac{3}{4}C = \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{25} = \frac{3}{25}$

$B = \frac{5}{4}C = \frac{5}{4} \cdot \frac{4}{25} = \frac{1}{5} = \frac{5}{25}$

$\int \frac{1}{(x-2)^2 (x^2 + 1)} \, dx = \int (-\frac{4}{25} \frac{1}{x-2} + \frac{5}{25} \frac{1}{(x-2)^2} + \frac{\frac{4}{25}x + \frac{3}{25}}{x^2 + 1}) \, dx$

$= -\frac{4}{25} \log|x-2| - \frac{5}{25} \frac{1}{x-2} + \frac{4}{25} \int \frac{x}{x^2+1} dx + \frac{3}{25} \int \frac{1}{x^2+1} dx$

$= -\frac{4}{25} \log|x-2| - \frac{1}{5(x-2)} + \frac{2}{25} \log(x^2+1) + \frac{3}{25} \arctan(x) + C$

$= \frac{2}{25} \log(\frac{x^2+1}{(x-2)^2}) - \frac{1}{5(x-2)} + \frac{3}{25} \arctan(x) + C$

(4) $\int \frac{1 - \cos x}{\sin x} \, dx$

$\frac{1 - \cos x}{\sin x} = \frac{1}{\sin x} - \frac{\cos x}{\sin x} = \csc x - \cot x$

$\int \frac{1 - \cos x}{\sin x} dx = \int (\csc x - \cot x) dx = \int \csc x \, dx - \int \cot x \, dx$

$\int \csc x \, dx = -\log |\csc x + \cot x|$

$\int \cot x \, dx = \log |\sin x|$

Therefore, $\int \frac{1 - \cos x}{\sin x} dx = -\log |\csc x + \cot x| - \log |\sin x| + C$

Also,

$\frac{1 - \cos x}{\sin x} = \frac{2 \sin^2 \frac{x}{2}}{2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}} = \tan \frac{x}{2}$

$\int \tan \frac{x}{2} dx = -2\log |\cos \frac{x}{2}| + C$

(5) 微分

(1) $y = x \tan^{-1} x - \log \sqrt{1 + x^2}$

$\frac{dy}{dx} = \tan^{-1} x + x \cdot \frac{1}{1 + x^2} - \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{1 + x^2}} \cdot 2x = \tan^{-1} x + \frac{x}{1 + x^2} - \frac{x}{1 + x^2} = \tan^{-1} x$

(2) $x^3 + 3xy + y^3 = 0$

陰関数微分を行うと、

$3x^2 + 3y + 3x \frac{dy}{dx} + 3y^2 \frac{dy}{dx} = 0$

$3x^2 + 3y + (3x + 3y^2) \frac{dy}{dx} = 0$

$(x + y^2) \frac{dy}{dx} = -x^2 - y$

$\frac{dy}{dx} = -\frac{x^2 + y}{x + y^2}$

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3. 最終的な答え**

[1] 不定積分の計算

(1) $\int \cos^{-1} x \, dx = x \cos^{-1} x - \sqrt{1 - x^2} + C$

(2) $\int \frac{1}{x^2 - 3x - 10} \, dx = \frac{1}{7} \log \left| \frac{x - 5}{x + 2} \right| + C$

(3) $\int \frac{1}{(x-2)^2 (x^2 + 1)} \, dx = \frac{2}{25} \log(\frac{x^2+1}{(x-2)^2}) - \frac{1}{5(x-2)} + \frac{3}{25} \arctan(x) + C$

(4) $\int \frac{1 - \cos x}{\sin x} \, dx = -2\log |\cos \frac{x}{2}| + C = \log |\csc x - \cot x| + C$

[2] 微分

(1) $\frac{dy}{dx} = \tan^{-1} x$

(2) $\frac{dy}{dx} = -\frac{x^2 + y}{x + y^2}$