$f:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ が $C^1$ 級関数であり、ある $M_1 > 0, M_2 > 0$ が存在して、 $\left| \frac{\partial f}{\partial x}(x, y) \right| \le M_1, \left| \frac{\partial f}{\partial y}(x, y) \right| \le M_2$ が $(x, y) \in \mathbb{R}^2$ で成り立つとき、不等式 $|f(x+h, y+k) - f(x, y)| \le \sqrt{M_1^2 + M_2^2} \sqrt{h^2 + k^2}$ が $(x, y) \in \mathbb{R}^2, h, k \in \mathbb{R}$ で成り立つことを示す。

1. 問題の内容

$f:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ が $C^1$ 級関数であり、ある $M_1 > 0, M_2 > 0$ が存在して、

$\left| \frac{\partial f}{\partial x}(x, y) \right| \le M_1, \left| \frac{\partial f}{\partial y}(x, y) \right| \le M_2$ が $(x, y) \in \mathbb{R}^2$ で成り立つとき、不等式

$|f(x+h, y+k) - f(x, y)| \le \sqrt{M_1^2 + M_2^2} \sqrt{h^2 + k^2}$ が $(x, y) \in \mathbb{R}^2, h, k \in \mathbb{R}$ で成り立つことを示す。

2. 解き方の手順

まず、$f(x+h, y+k) - f(x, y)$ を以下のように変形する。

$f(x+h, y+k) - f(x, y) = f(x+h, y+k) - f(x, x+k) + f(x, y+k) - f(x, y)$

ここで、平均値の定理を用いる。

$f(x+h, y+k) - f(x, y+k) = \frac{\partial f}{\partial x}(\xi, y+k)h$（ただし、$\xi$ は $x$ と $x+h$ の間の値）

$f(x, y+k) - f(x, y) = \frac{\partial f}{\partial y}(x, \eta)k$（ただし、$\eta$ は $y$ と $y+k$ の間の値）

したがって、

$f(x+h, y+k) - f(x, y) = \frac{\partial f}{\partial x}(\xi, y+k)h + \frac{\partial f}{\partial y}(x, \eta)k$

両辺の絶対値をとると、

$|f(x+h, y+k) - f(x, y)| = \left| \frac{\partial f}{\partial x}(\xi, y+k)h + \frac{\partial f}{\partial y}(x, \eta)k \right|$

三角不等式より、

$|f(x+h, y+k) - f(x, y)| \le \left| \frac{\partial f}{\partial x}(\xi, y+k) \right| |h| + \left| \frac{\partial f}{\partial y}(x, \eta) \right| |k|$

仮定より $\left| \frac{\partial f}{\partial x}(x, y) \right| \le M_1$ および $\left| \frac{\partial f}{\partial y}(x, y) \right| \le M_2$ であるから、

$|f(x+h, y+k) - f(x, y)| \le M_1 |h| + M_2 |k|$

コーシー・シュワルツの不等式を用いると、

$M_1 |h| + M_2 |k| \le \sqrt{M_1^2 + M_2^2} \sqrt{h^2 + k^2}$

したがって、

$|f(x+h, y+k) - f(x, y)| \le \sqrt{M_1^2 + M_2^2} \sqrt{h^2 + k^2}$

3. 最終的な答え

$|f(x+h, y+k) - f(x, y)| \le \sqrt{M_1^2 + M_2^2} \sqrt{h^2 + k^2}$