関数 $y = x^2 e^{-x}$ の第4次導関数を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = x^2 e^{-x}$ の第4次導関数を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数 $y = x^2 e^{-x}$ を微分していきます。積の微分法 $\frac{d}{dx}(uv) = u'v + uv'$ を利用します。

1階微分:

$y' = \frac{d}{dx}(x^2 e^{-x}) = (2x)e^{-x} + x^2(-e^{-x}) = 2xe^{-x} - x^2e^{-x} = (2x-x^2)e^{-x}$

2階微分:

$y'' = \frac{d}{dx}((2x-x^2)e^{-x}) = (2-2x)e^{-x} + (2x-x^2)(-e^{-x}) = (2-2x)e^{-x} - (2x-x^2)e^{-x} = (2-4x+x^2)e^{-x}$

3階微分:

$y''' = \frac{d}{dx}((2-4x+x^2)e^{-x}) = (-4+2x)e^{-x} + (2-4x+x^2)(-e^{-x}) = (-4+2x)e^{-x} - (2-4x+x^2)e^{-x} = (-6+6x-x^2)e^{-x}$

4階微分:

$y^{(4)} = \frac{d}{dx}((-6+6x-x^2)e^{-x}) = (6-2x)e^{-x} + (-6+6x-x^2)(-e^{-x}) = (6-2x)e^{-x} - (-6+6x-x^2)e^{-x} = (12-8x+x^2)e^{-x}$

3. 最終的な答え

$y^{(4)} = (x^2 - 8x + 12)e^{-x}$