関数 $y = \frac{1}{x+2}$ の第2次導関数を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{1}{x+2}$ の第2次導関数を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を微分して第1次導関数を求めます。

$y = \frac{1}{x+2} = (x+2)^{-1}$

第1次導関数は

$\frac{dy}{dx} = -1(x+2)^{-2} \cdot 1 = -\frac{1}{(x+2)^2}$

次に、第1次導関数をさらに微分して第2次導関数を求めます。

$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx} \left(-\frac{1}{(x+2)^2}\right) = \frac{d}{dx} \left(-(x+2)^{-2}\right)$

$\frac{d^2y}{dx^2} = -(-2)(x+2)^{-3} \cdot 1 = 2(x+2)^{-3} = \frac{2}{(x+2)^3}$

3. 最終的な答え

$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{2}{(x+2)^3}$