以下の2つの不定積分を求めます。 (1) $\int \frac{1}{2 + \cos x} dx$ (2) $\int \frac{\sin x}{\cos x - \sin x} dx$

1. 問題の内容

以下の2つの不定積分を求めます。

(1) $\int \frac{1}{2 + \cos x} dx$

(2) $\int \frac{\sin x}{\cos x - \sin x} dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int \frac{1}{2 + \cos x} dx$ の解法：

半角のタンジェント置換 $t = \tan \frac{x}{2}$ を用います。このとき、$\cos x = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}$ かつ $dx = \frac{2}{1 + t^2} dt$ となります。これらを積分に代入します。

$\int \frac{1}{2 + \cos x} dx = \int \frac{1}{2 + \frac{1 - t^2}{1 + t^2}} \cdot \frac{2}{1 + t^2} dt = \int \frac{2}{2(1 + t^2) + 1 - t^2} dt = \int \frac{2}{t^2 + 3} dt$

$\int \frac{2}{t^2 + 3} dt = \frac{2}{3} \int \frac{1}{\frac{t^2}{3} + 1} dt = \frac{2}{3} \int \frac{1}{(\frac{t}{\sqrt{3}})^2 + 1} dt$

$u = \frac{t}{\sqrt{3}}$ とおくと、$du = \frac{1}{\sqrt{3}} dt$ より $dt = \sqrt{3} du$ となるので、

$\frac{2}{3} \int \frac{1}{u^2 + 1} \sqrt{3} du = \frac{2\sqrt{3}}{3} \int \frac{1}{u^2 + 1} du = \frac{2\sqrt{3}}{3} \arctan u + C = \frac{2\sqrt{3}}{3} \arctan \frac{t}{\sqrt{3}} + C$

$t = \tan \frac{x}{2}$ を代入して、

$\frac{2\sqrt{3}}{3} \arctan \frac{\tan \frac{x}{2}}{\sqrt{3}} + C = \frac{2}{\sqrt{3}} \arctan \left(\frac{1}{\sqrt{3}} \tan \frac{x}{2}\right) + C$

(2) $\int \frac{\sin x}{\cos x - \sin x} dx$ の解法：

$\int \frac{\sin x}{\cos x - \sin x} dx = \int \frac{\sin x}{\sqrt{2}\cos(x + \frac{\pi}{4})} dx$

$A\sin x + B\cos x = \frac{d}{dx}(\cos x - \sin x)$ となるような定数A, Bを探す。

$\frac{d}{dx}(\cos x - \sin x) = -\sin x - \cos x$

$\sin x = A(\cos x - \sin x) + B(-\sin x - \cos x) = (A - B)\cos x + (-A - B)\sin x$

係数を比較すると、

$A - B = 0$ より $A = B$

$-A - B = 1$ より $-2A = 1$ つまり $A = -\frac{1}{2}$, $B = -\frac{1}{2}$.

$\sin x = -\frac{1}{2}(\cos x - \sin x) - \frac{1}{2}(-\sin x - \cos x)$

したがって、

$\int \frac{\sin x}{\cos x - \sin x} dx = \int \frac{-\frac{1}{2}(\cos x - \sin x) - \frac{1}{2}(-\sin x - \cos x)}{\cos x - \sin x} dx = -\frac{1}{2} \int 1 dx - \frac{1}{2} \int \frac{-\sin x - \cos x}{\cos x - \sin x} dx$

$= -\frac{1}{2}x - \frac{1}{2} \ln |\cos x - \sin x| + C$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{2}{\sqrt{3}} \arctan \left(\frac{1}{\sqrt{3}} \tan \frac{x}{2}\right) + C$

(2) $-\frac{1}{2}x - \frac{1}{2} \ln |\cos x - \sin x| + C$