以下の2つの不定積分を求めます。 (1) $\int \frac{1}{2 + \cos x} dx$ (2) $\int \frac{\sin x}{\cos x - \sin x} dx$

1. 問題の内容

以下の2つの不定積分を求めます。

(1) $\int \frac{1}{2 + \cos x} dx$

(2) $\int \frac{\sin x}{\cos x - \sin x} dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int \frac{1}{2 + \cos x} dx$

半角の公式 $\cos x = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}$ ($t = \tan \frac{x}{2}$)を利用して、$t$に関する積分に帰着させます。$\frac{dx}{dt} = \frac{2}{1+t^2}$ より $dx = \frac{2}{1+t^2}dt$。

$\int \frac{1}{2 + \cos x} dx = \int \frac{1}{2 + \frac{1 - t^2}{1 + t^2}} \cdot \frac{2}{1 + t^2} dt = \int \frac{1}{\frac{2(1+t^2) + 1 - t^2}{1+t^2}} \cdot \frac{2}{1 + t^2} dt = \int \frac{2}{2 + 2t^2 + 1 - t^2} dt = \int \frac{2}{3 + t^2} dt$

ここで、$t = \sqrt{3} \tan u$ と置換すると、$dt = \sqrt{3} \sec^2 u du$ より、

$\int \frac{2}{3 + t^2} dt = \int \frac{2}{3 + 3\tan^2 u} \cdot \sqrt{3} \sec^2 u du = \int \frac{2\sqrt{3} \sec^2 u}{3 \sec^2 u} du = \int \frac{2\sqrt{3}}{3} du = \frac{2\sqrt{3}}{3} u + C$

$u = \arctan \frac{t}{\sqrt{3}}$ より、

$\frac{2\sqrt{3}}{3} \arctan \frac{t}{\sqrt{3}} + C = \frac{2}{\sqrt{3}} \arctan \frac{\tan \frac{x}{2}}{\sqrt{3}} + C$

(2) $\int \frac{\sin x}{\cos x - \sin x} dx$

$\int \frac{\sin x}{\cos x - \sin x} dx = \int \frac{-(\cos x - \sin x) + \cos x}{\cos x - \sin x} dx = \int -1 + \frac{\cos x}{\cos x - \sin x} dx = -x + \int \frac{\cos x}{\cos x - \sin x} dx$

$\int \frac{\cos x}{\cos x - \sin x} dx = \int \frac{\cos x - \sin x + \sin x}{\cos x - \sin x} dx = \int 1 + \frac{\sin x}{\cos x - \sin x} dx$

$\int \frac{\sin x}{\cos x - \sin x} dx = \int \frac{\sin x}{\cos x - \sin x} dx$ なので、

$2\int \frac{\sin x}{\cos x - \sin x} dx = \int -1 dx + \int 1 dx + \int \frac{\cos x + \sin x}{\cos x - \sin x} dx = \int \frac{\cos x + \sin x}{\cos x - \sin x} dx$

$u = \cos x - \sin x$ と置換すると、$du = (-\sin x - \cos x) dx$

$\int \frac{\cos x + \sin x}{\cos x - \sin x} dx = \int \frac{-du}{u} = -\ln |u| + C = -\ln |\cos x - \sin x| + C$

$2\int \frac{\sin x}{\cos x - \sin x} dx = -\ln |\cos x - \sin x| + C$

$\int \frac{\sin x}{\cos x - \sin x} dx = -\frac{1}{2} \ln |\cos x - \sin x| + C$

3. 最終的な答え

(1) $\int \frac{1}{2 + \cos x} dx = \frac{2\sqrt{3}}{3} \arctan \left(\frac{\tan \frac{x}{2}}{\sqrt{3}}\right) + C = \frac{2}{\sqrt{3}} \arctan \left(\frac{\tan \frac{x}{2}}{\sqrt{3}}\right) + C$

(2) $\int \frac{\sin x}{\cos x - \sin x} dx = -\frac{1}{2} \ln |\cos x - \sin x| + C$