与えられた積分の問題を解きます。 問題は、 $\int \frac{1}{\sqrt{\cos^2 \theta + 1}} \cos \theta \, d\theta$ を計算することです。

1. 問題の内容

与えられた積分の問題を解きます。

問題は、

$\int \frac{1}{\sqrt{\cos^2 \theta + 1}} \cos \theta \, d\theta$

を計算することです。

2. 解き方の手順

この積分を解くには、まず置換積分を試みます。

$u = \sin \theta$ と置換すると、

$du = \cos \theta \, d\theta$ となります。

したがって、積分は次のように書き換えられます。

$\int \frac{1}{\sqrt{\cos^2 \theta + 1}} \cos \theta \, d\theta = \int \frac{1}{\sqrt{1 - \sin^2 \theta + 1}} \cos \theta \, d\theta = \int \frac{1}{\sqrt{2 - \sin^2 \theta}} \cos \theta \, d\theta$

$u = \sin \theta$ で置換すると、$\sin^2 \theta = u^2$ となり、積分は以下のようになります。

$\int \frac{1}{\sqrt{2 - u^2}} du$

さらに、 $u = \sqrt{2} \sin v$ と置換します。

このとき、$du = \sqrt{2} \cos v \, dv$ となります。

積分は次のようになります。

$\int \frac{1}{\sqrt{2 - 2\sin^2 v}} \sqrt{2} \cos v \, dv = \int \frac{\sqrt{2} \cos v}{\sqrt{2(1 - \sin^2 v)}} dv = \int \frac{\sqrt{2} \cos v}{\sqrt{2}\cos v} dv = \int 1 \, dv = v + C$

ここで、$u = \sqrt{2} \sin v$ より、$\sin v = \frac{u}{\sqrt{2}}$ です。

したがって、$v = \arcsin \left( \frac{u}{\sqrt{2}} \right)$ です。

また、$u = \sin \theta$ より、

$v = \arcsin \left( \frac{\sin \theta}{\sqrt{2}} \right)$ です。

よって、積分結果は

$\arcsin \left( \frac{\sin \theta}{\sqrt{2}} \right) + C$ となります。

3. 最終的な答え

$\arcsin \left( \frac{\sin \theta}{\sqrt{2}} \right) + C$