問題は2つの広義積分を求めることです。 (1) $\int_{-\infty}^{-1} \frac{1}{x^4} dx$ (2) $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{2}{x^2+4} dx$

1. 問題の内容

問題は2つの広義積分を求めることです。

(1) $\int_{-\infty}^{-1} \frac{1}{x^4} dx$

(2) $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{2}{x^2+4} dx$

2. 解き方の手順

(1)

広義積分の定義に従い、積分範囲を有限にしてから極限を取ります。

$\int_{-\infty}^{-1} \frac{1}{x^4} dx = \lim_{a \to -\infty} \int_{a}^{-1} \frac{1}{x^4} dx$

積分を計算します。

$\int_{a}^{-1} \frac{1}{x^4} dx = \int_{a}^{-1} x^{-4} dx = \left[ \frac{x^{-3}}{-3} \right]_{a}^{-1} = \left[ -\frac{1}{3x^3} \right]_{a}^{-1} = -\frac{1}{3(-1)^3} - \left(-\frac{1}{3a^3}\right) = \frac{1}{3} + \frac{1}{3a^3}$

極限を計算します。

$\lim_{a \to -\infty} \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{3a^3} \right) = \frac{1}{3} + 0 = \frac{1}{3}$

(2)

広義積分の定義に従い、積分範囲を有限にしてから極限を取ります。積分範囲を2つに分割します。

$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{2}{x^2+4} dx = \int_{-\infty}^{0} \frac{2}{x^2+4} dx + \int_{0}^{\infty} \frac{2}{x^2+4} dx$

まず、$\int_{0}^{\infty} \frac{2}{x^2+4} dx$を計算します。

$\int_{0}^{\infty} \frac{2}{x^2+4} dx = \lim_{b \to \infty} \int_{0}^{b} \frac{2}{x^2+4} dx$

ここで、$\int \frac{1}{x^2+a^2} dx = \frac{1}{a} \arctan(\frac{x}{a}) + C$という公式を使うと、$a=2$なので、

$\int_{0}^{b} \frac{2}{x^2+4} dx = 2 \cdot \left[ \frac{1}{2} \arctan(\frac{x}{2}) \right]_{0}^{b} = \left[ \arctan(\frac{x}{2}) \right]_{0}^{b} = \arctan(\frac{b}{2}) - \arctan(0) = \arctan(\frac{b}{2}) - 0 = \arctan(\frac{b}{2})$

極限を計算します。

$\lim_{b \to \infty} \arctan(\frac{b}{2}) = \frac{\pi}{2}$

次に、$\int_{-\infty}^{0} \frac{2}{x^2+4} dx$を計算します。

$\int_{-\infty}^{0} \frac{2}{x^2+4} dx = \lim_{a \to -\infty} \int_{a}^{0} \frac{2}{x^2+4} dx = 2 \cdot \lim_{a \to -\infty} \left[ \frac{1}{2} \arctan(\frac{x}{2}) \right]_{a}^{0} = \lim_{a \to -\infty} \left[ \arctan(\frac{x}{2}) \right]_{a}^{0} = \arctan(0) - \lim_{a \to -\infty} \arctan(\frac{a}{2}) = 0 - (-\frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{2}$

したがって、$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{2}{x^2+4} dx = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} = \pi$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{3}$

(2) $\pi$