画像に示された2つの定積分を計算します。 (1) $\int_{-1}^0 3x^2 dx$ (2) $\int_2^3 \frac{6}{\sqrt{9-x^2}} dx$

1. 問題の内容

画像に示された2つの定積分を計算します。

(1) $\int_{-1}^0 3x^2 dx$

(2) $\int_2^3 \frac{6}{\sqrt{9-x^2}} dx$

2. 解き方の手順

(1)

まず、積分を計算します。

$\int 3x^2 dx = x^3 + C$

次に、積分範囲を代入します。

$\int_{-1}^0 3x^2 dx = [x^3]_{-1}^0 = (0^3) - ((-1)^3) = 0 - (-1) = 1$

(2)

$\int \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} dx = \arcsin(\frac{x}{a}) + C$ を利用します。

$\int_2^3 \frac{6}{\sqrt{9-x^2}} dx = 6\int_2^3 \frac{1}{\sqrt{3^2-x^2}} dx$

$\int_2^3 \frac{6}{\sqrt{9-x^2}} dx = 6[\arcsin(\frac{x}{3})]_2^3 = 6[\arcsin(\frac{3}{3}) - \arcsin(\frac{2}{3})] = 6[\arcsin(1) - \arcsin(\frac{2}{3})] = 6[\frac{\pi}{2} - \arcsin(\frac{2}{3})]$

3. 最終的な答え

(1) 1

(2) $6(\frac{\pi}{2} - \arcsin(\frac{2}{3}))$

または

(2) $3\pi - 6\arcsin(\frac{2}{3})$