与えられた積分を計算します。積分は以下の通りです。 $\int \frac{1}{\sqrt{x^2+4x+5}} dx$

1. 問題の内容

与えられた積分を計算します。積分は以下の通りです。

$\int \frac{1}{\sqrt{x^2+4x+5}} dx$

2. 解き方の手順

与えられた積分を計算するために、平方完成を利用します。まず、根号の中の式を平方完成します。

$x^2+4x+5 = (x^2+4x+4) + 1 = (x+2)^2 + 1$

したがって、積分は

$\int \frac{1}{\sqrt{(x+2)^2+1}} dx$

となります。ここで、$x+2 = \sinh(u)$ と置換します。すると、$dx = \cosh(u) du$ となります。また、

$\sqrt{(x+2)^2+1} = \sqrt{\sinh^2(u)+1} = \sqrt{\cosh^2(u)} = \cosh(u)$

したがって、積分は

$\int \frac{1}{\cosh(u)} \cosh(u) du = \int 1 du = u + C$

となります。ここで、$u = \sinh^{-1}(x+2)$ ですから、

$\sinh^{-1}(x+2) = \ln((x+2) + \sqrt{(x+2)^2+1}) = \ln(x+2+\sqrt{x^2+4x+5})$

したがって、積分は

$\ln(x+2+\sqrt{x^2+4x+5})+C$

となります。

3. 最終的な答え

$\ln(x+2+\sqrt{x^2+4x+5})+C$