与えられた2つの広義積分を計算する問題です。 (1) $\int_{-1}^{0} \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}} dx$ (2) $\int_{-3}^{-1} \frac{6}{\sqrt{9-x^2}} dx$

1. 問題の内容

与えられた2つの広義積分を計算する問題です。

(1) $\int_{-1}^{0} \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}} dx$

(2) $\int_{-3}^{-1} \frac{6}{\sqrt{9-x^2}} dx$

2. 解き方の手順

(1)

積分区間 $-1 \le x \le 0$ において $x = 0$ で被積分関数 $\frac{1}{\sqrt[3]{x^2}} = x^{-2/3}$ が発散するため広義積分となります。

$\int_{-1}^{0} x^{-2/3} dx = \lim_{\epsilon \to 0} \int_{-1}^{-\epsilon} x^{-2/3} dx$ と定義して計算します。

まず不定積分を計算します。

$\int x^{-2/3} dx = \frac{x^{1/3}}{1/3} + C = 3x^{1/3} + C$

次に定積分を計算します。

$\int_{-1}^{-\epsilon} x^{-2/3} dx = [3x^{1/3}]_{-1}^{-\epsilon} = 3(-\epsilon)^{1/3} - 3(-1)^{1/3} = -3\epsilon^{1/3} + 3$

最後に極限を計算します。

$\lim_{\epsilon \to 0} (-3\epsilon^{1/3} + 3) = 3$

(2)

積分区間 $-3 \le x \le -1$ において $x = -3$ で被積分関数 $\frac{6}{\sqrt{9-x^2}}$ が発散するため広義積分となります。

$\int_{-3}^{-1} \frac{6}{\sqrt{9-x^2}} dx = \lim_{\epsilon \to 0} \int_{-3+\epsilon}^{-1} \frac{6}{\sqrt{9-x^2}} dx$ と定義して計算します。

不定積分 $\int \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} dx = \arcsin(\frac{x}{a}) + C$ という公式を利用します。

よって、

$\int \frac{6}{\sqrt{9-x^2}} dx = 6 \int \frac{1}{\sqrt{3^2-x^2}} dx = 6\arcsin(\frac{x}{3}) + C$

次に定積分を計算します。

$\int_{-3+\epsilon}^{-1} \frac{6}{\sqrt{9-x^2}} dx = [6\arcsin(\frac{x}{3})]_{-3+\epsilon}^{-1} = 6\arcsin(-\frac{1}{3}) - 6\arcsin(\frac{-3+\epsilon}{3}) = 6\arcsin(-\frac{1}{3}) - 6\arcsin(-1+\frac{\epsilon}{3})$

最後に極限を計算します。

$\lim_{\epsilon \to 0} [6\arcsin(-\frac{1}{3}) - 6\arcsin(-1+\frac{\epsilon}{3})] = 6\arcsin(-\frac{1}{3}) - 6\arcsin(-1) = 6\arcsin(-\frac{1}{3}) - 6(-\frac{\pi}{2}) = 6\arcsin(-\frac{1}{3}) + 3\pi$

3. 最終的な答え

(1) 3

(2) $6\arcsin(-\frac{1}{3}) + 3\pi$