(1) $\int_{-1}^{0} \frac{x}{\sqrt{3x^2}} dx$ を計算する。 (2) $\int_{3}^{6} \frac{1}{\sqrt{9-x^2}} dx$ を計算する。

1. 問題の内容

(1) $\int_{-1}^{0} \frac{x}{\sqrt{3x^2}} dx$ を計算する。

(2) $\int_{3}^{6} \frac{1}{\sqrt{9-x^2}} dx$ を計算する。

2. 解き方の手順

(1) まず、$I = \int_{-1}^{0} \frac{x}{\sqrt{3x^2}} dx$ を計算する。

$u = 3x^2$ と置換すると、$du = 6x dx$ となる。したがって、$xdx = \frac{1}{6}du$である。

積分範囲も変わる。$x=-1$のとき$u=3$、$x=0$のとき$u=0$。

したがって、

$I = \int_{3}^{0} \frac{1}{\sqrt{u}} \frac{1}{6} du = \frac{1}{6} \int_{3}^{0} u^{-1/2} du = \frac{1}{6} [2u^{1/2}]_3^0 = \frac{1}{3} [\sqrt{u}]_3^0 = \frac{1}{3} (0-\sqrt{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{3} = -\frac{1}{\sqrt{3}}$。

(2) 次に、$J = \int_{3}^{6} \frac{1}{\sqrt{9-x^2}} dx$ を計算する。

$x = 3\sin\theta$ と置換すると、$dx = 3\cos\theta d\theta$ となる。

積分範囲も変わる。$x=3$のとき、$3=3\sin\theta$より$\sin\theta = 1$なので$\theta = \pi/2$。

$x=6$のとき、$6=3\sin\theta$より$\sin\theta = 2$となり、この$\theta$は存在しない。

$9-x^2$は$x=3$以上の$x$に対して負となるので、積分は定義されない。

したがって、この積分は発散する。

3. 最終的な答え

(1) $\int_{-1}^{0} \frac{x}{\sqrt{3x^2}} dx = -\frac{\sqrt{3}}{3}$

(2) $\int_{3}^{6} \frac{1}{\sqrt{9-x^2}} dx$ は発散する。