関数 $f(x) = \cos x$ に対して、$n=4$ および $n=6$ のマクローリンの定理を利用して、不等式 $1-\frac{1}{2}x^2 \le \cos x \le 1-\frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{24}x^4$ を $-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}$ の範囲で証明する。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \cos x$ に対して、$n=4$ および $n=6$ のマクローリンの定理を利用して、不等式 $1-\frac{1}{2}x^2 \le \cos x \le 1-\frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{24}x^4$ を $-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}$ の範囲で証明する。

2. 解き方の手順

まず、$f(x) = \cos x$ のマクローリン展開を考える。マクローリン展開はテイラー展開の中心を0としたものであり、$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$ で表される。

$f(x) = \cos x$ の導関数は以下のようになる。

$f(x) = \cos x$

$f'(x) = -\sin x$

$f''(x) = -\cos x$

$f'''(x) = \sin x$

$f^{(4)}(x) = \cos x$

$f^{(5)}(x) = -\sin x$

$f^{(6)}(x) = -\cos x$

$x=0$ での導関数の値は以下のようになる。

$f(0) = \cos 0 = 1$

$f'(0) = -\sin 0 = 0$

$f''(0) = -\cos 0 = -1$

$f'''(0) = \sin 0 = 0$

$f^{(4)}(0) = \cos 0 = 1$

$f^{(5)}(0) = -\sin 0 = 0$

$f^{(6)}(0) = -\cos 0 = -1$

したがって、$f(x) = \cos x$ のマクローリン展開は以下のようになる。

$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - \frac{x^6}{720} + \cdots$

$n=4$ のとき、$\cos x \approx 1 - \frac{x^2}{2}$ となる。

$n=6$ のとき、$\cos x \approx 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24}$ となる。

剰余項を考慮すると、$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - \frac{x^6}{6!} \cos c$ (ただし、$0 < c < x$) となる。

$-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}$ の範囲において、剰余項の符号を考慮すると、

$\cos x \ge 1 - \frac{x^2}{2}$

$\cos x \le 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24}$

が成り立つ。

したがって、$1 - \frac{1}{2}x^2 \le \cos x \le 1 - \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{24}x^4$ が証明された。

3. 最終的な答え

$1-\frac{1}{2}x^2 \le \cos x \le 1-\frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{24}x^4$