与えられた関数 $f(x)$ の増減、極値を調べ、グラフの概形を描く問題です。 (1) $f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6$ (2) $f(x) = \frac{x^2 - x + 2}{x^2 + x + 2}$ (3) $f(x) = x\sqrt{ax - x^2}$ ($a>0$) (4) $f(x) = e^{-x^2}$ 今回は、(1) の関数 $f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6$ について解きます。

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x)$ の増減、極値を調べ、グラフの概形を描く問題です。

(1) $f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6$

(2) $f(x) = \frac{x^2 - x + 2}{x^2 + x + 2}$

(3) $f(x) = x\sqrt{ax - x^2}$ ($a>0$)

(4) $f(x) = e^{-x^2}$

今回は、(1) の関数 $f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6$ について解きます。

2. 解き方の手順

(1) まず、$f(x)$ を微分して $f'(x)$ を求めます。

$f'(x) = 3x^2 - 12x + 11$

(2) $f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$3x^2 - 12x + 11 = 0$

解の公式より、

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 3 \cdot 11}}{6} = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 132}}{6} = \frac{12 \pm \sqrt{12}}{6} = \frac{12 \pm 2\sqrt{3}}{6} = 2 \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

(3) $x = 2 - \frac{\sqrt{3}}{3}$ と $x = 2 + \frac{\sqrt{3}}{3}$ の前後で $f'(x)$ の符号を調べます。

$f'(x) = 3(x - (2 - \frac{\sqrt{3}}{3}))(x - (2 + \frac{\sqrt{3}}{3}))$

$f'(1) = 3 - 12 + 11 = 2 > 0$

$f'(2) = 12 - 24 + 11 = -1 < 0$

$f'(3) = 27 - 36 + 11 = 2 > 0$

したがって、

$x < 2 - \frac{\sqrt{3}}{3}$ で $f'(x) > 0$ (増加)

$2 - \frac{\sqrt{3}}{3} < x < 2 + \frac{\sqrt{3}}{3}$ で $f'(x) < 0$ (減少)

$x > 2 + \frac{\sqrt{3}}{3}$ で $f'(x) > 0$ (増加)

(4) $f(x)$ の増減表を書きます。

| x | ... | $2 - \frac{\sqrt{3}}{3}$ | ... | $2 + \frac{\sqrt{3}}{3}$ | ... |

| ------------- | ------------------------ | ------------------------ | ------------------------ | ------------------------ | ------------------------ |

| $f'(x)$ | $+$ | $0$ | $-$ | $0$ | $+$ |

| $f(x)$ | $\nearrow$ | 極大 | $\searrow$ | 極小 | $\nearrow$ |

(5) 極大値、極小値を求めます。

$f(2 - \frac{\sqrt{3}}{3}) = (2 - \frac{\sqrt{3}}{3})^3 - 6(2 - \frac{\sqrt{3}}{3})^2 + 11(2 - \frac{\sqrt{3}}{3}) - 6 = \frac{20}{9} - \frac{2\sqrt{3}}{9}$

$f(2 + \frac{\sqrt{3}}{3}) = (2 + \frac{\sqrt{3}}{3})^3 - 6(2 + \frac{\sqrt{3}}{3})^2 + 11(2 + \frac{\sqrt{3}}{3}) - 6 = \frac{20}{9} + \frac{2\sqrt{3}}{9}$

(6) $f(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = (x-1)(x-2)(x-3) = 0$

よって、$x = 1, 2, 3$

(7) グラフの概形を描きます。

3. 最終的な答え

$f(x)$ は、$x = 2 - \frac{\sqrt{3}}{3}$ で極大値 $\frac{20}{9} - \frac{2\sqrt{3}}{9}$ をとり、$x = 2 + \frac{\sqrt{3}}{3}$ で極小値 $\frac{20}{9} + \frac{2\sqrt{3}}{9}$ をとります。

$x=1, 2, 3$で$f(x) = 0$となります。

グラフは、$x < 2 - \frac{\sqrt{3}}{3}$ および $x > 2 + \frac{\sqrt{3}}{3}$ で増加、$2 - \frac{\sqrt{3}}{3} < x < 2 + \frac{\sqrt{3}}{3}$ で減少します。