与えられた式 $\frac{a}{a+b} + \frac{b}{a-b}$ を計算して、最も簡単な形で表す。

1. 問題の内容

与えられた式 $\frac{a}{a+b} + \frac{b}{a-b}$ を計算して、最も簡単な形で表す。

2. 解き方の手順

与えられた2つの分数を足し合わせるために、まず共通の分母を見つけます。共通の分母は $(a+b)(a-b)$ となります。次に、各分数の分子を共通の分母で割った値と掛けます。

$\frac{a}{a+b} + \frac{b}{a-b} = \frac{a(a-b)}{(a+b)(a-b)} + \frac{b(a+b)}{(a+b)(a-b)}$

次に、分子を展開します。

$= \frac{a^2 - ab}{(a+b)(a-b)} + \frac{ab + b^2}{(a+b)(a-b)}$

次に、分子を足し合わせます。

$= \frac{a^2 - ab + ab + b^2}{(a+b)(a-b)}$

$= \frac{a^2 + b^2}{(a+b)(a-b)}$

分母を展開すると $a^2 - b^2$ になります。

$= \frac{a^2 + b^2}{a^2 - b^2}$

3. 最終的な答え

$\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}$