(1) $\sin \alpha = \frac{1}{3}$ のとき、$\cos 2\alpha$ の値を求める。 (2) $\cos \alpha = \frac{7}{8}$ のとき、$\cos 2\alpha$ の値を求める。

1. 問題の内容

(1) $\sin \alpha = \frac{1}{3}$ のとき、$\cos 2\alpha$ の値を求める。

(2) $\cos \alpha = \frac{7}{8}$ のとき、$\cos 2\alpha$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $\cos 2\alpha$ の公式 $\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2 \alpha$ を利用する。

$\sin \alpha = \frac{1}{3}$ を代入する。

(2) $\cos 2\alpha$ の公式 $\cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha - 1$ を利用する。

$\cos \alpha = \frac{7}{8}$ を代入する。

(1)

$\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2 \alpha$

$\cos 2\alpha = 1 - 2(\frac{1}{3})^2 = 1 - 2(\frac{1}{9}) = 1 - \frac{2}{9} = \frac{9}{9} - \frac{2}{9} = \frac{7}{9}$

(2)

$\cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha - 1$

$\cos 2\alpha = 2(\frac{7}{8})^2 - 1 = 2(\frac{49}{64}) - 1 = \frac{49}{32} - 1 = \frac{49}{32} - \frac{32}{32} = \frac{17}{32}$

3. 最終的な答え

(1) $\cos 2\alpha = \frac{7}{9}$

(2) $\cos 2\alpha = \frac{17}{32}$