次の不定積分を求める問題です。 (1) $\int \cos(2x+1) dx$ (2) $\int \sin^3 x \cos x dx$

1. 問題の内容

次の不定積分を求める問題です。

(1) $\int \cos(2x+1) dx$

(2) $\int \sin^3 x \cos x dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int \cos(2x+1) dx$ について

$u = 2x+1$ とおくと、$\frac{du}{dx} = 2$ より $dx = \frac{1}{2} du$

したがって、

$\int \cos(2x+1) dx = \int \cos(u) \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int \cos(u) du = \frac{1}{2} \sin(u) + C = \frac{1}{2} \sin(2x+1) + C$

よって、

$\frac{\sin(2x+1)}{2} + C$

(2) $\int \sin^3 x \cos x dx$ について

$u = \sin x$ とおくと、$\frac{du}{dx} = \cos x$ より $dx = \frac{1}{\cos x} du$

したがって、

$\int \sin^3 x \cos x dx = \int u^3 \cos x \frac{1}{\cos x} du = \int u^3 du = \frac{1}{4} u^4 + C = \frac{1}{4} \sin^4 x + C$

よって、

$\frac{\sin^4 x}{4} + C$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{2}$

(2) $2$

(3) $1$

(4) $4$

(5) $4$