与えられた3点を通る2次関数を求める問題です。 (1)では、点(-2, 5), (0, -3), (3, 0)を通る2次関数を求めます。 (2)では、点(-1, 1), (1, -5), (3, 5)を通る2次関数を求めます。

1. 問題の内容

与えられた3点を通る2次関数を求める問題です。

(1)では、点(-2, 5), (0, -3), (3, 0)を通る2次関数を求めます。

(2)では、点(-1, 1), (1, -5), (3, 5)を通る2次関数を求めます。

2. 解き方の手順

2次関数を $y = ax^2 + bx + c$ とおきます。与えられた3点の座標をこの式に代入し、a, b, cに関する3つの連立方程式を立てて解きます。

(1)

点(-2, 5)を通るので、

$5 = a(-2)^2 + b(-2) + c$

$5 = 4a - 2b + c$

点(0, -3)を通るので、

$-3 = a(0)^2 + b(0) + c$

$-3 = c$

点(3, 0)を通るので、

$0 = a(3)^2 + b(3) + c$

$0 = 9a + 3b + c$

$c = -3$ を他の2つの式に代入すると、

$4a - 2b - 3 = 5$

$9a + 3b - 3 = 0$

整理すると、

$4a - 2b = 8$

$9a + 3b = 3$

上の式を2で割り、下の式を3で割ると、

$2a - b = 4$

$3a + b = 1$

2つの式を足し合わせると、

$5a = 5$

$a = 1$

$a = 1$ を $3a + b = 1$ に代入すると、

$3(1) + b = 1$

$b = -2$

よって、求める2次関数は $y = x^2 - 2x - 3$ です。

(2)

点(-1, 1)を通るので、

$1 = a(-1)^2 + b(-1) + c$

$1 = a - b + c$

点(1, -5)を通るので、

$-5 = a(1)^2 + b(1) + c$

$-5 = a + b + c$

点(3, 5)を通るので、

$5 = a(3)^2 + b(3) + c$

$5 = 9a + 3b + c$

3つの式を連立させて解きます。

$a - b + c = 1$

$a + b + c = -5$

$9a + 3b + c = 5$

1番目の式と2番目の式を足し合わせると、

$2a + 2c = -4$

$a + c = -2$

$c = -a - 2$

これを他の2つの式に代入すると、

$a - b - a - 2 = 1$

$9a + 3b - a - 2 = 5$

整理すると、

$-b = 3$

$8a + 3b = 7$

$b = -3$ を $8a + 3b = 7$ に代入すると、

$8a + 3(-3) = 7$

$8a - 9 = 7$

$8a = 16$

$a = 2$

$a = 2$ を $c = -a - 2$ に代入すると、

$c = -2 - 2$

$c = -4$

よって、求める2次関数は $y = 2x^2 - 3x - 4$ です。

3. 最終的な答え

(1) $y = x^2 - 2x - 3$

(2) $y = 2x^2 - 3x - 4$