問題は、定積分 $\int_0^1 \sqrt{2 - y^2} \, dy$ を計算することです。

1. 問題の内容

問題は、定積分 $\int_0^1 \sqrt{2 - y^2} \, dy$ を計算することです。

2. 解き方の手順

まず、$y = \sqrt{2}\sin\theta$ と置換します。すると、$dy = \sqrt{2}\cos\theta \, d\theta$ となります。

積分範囲も変更する必要があります。

$y = 0$ のとき、$\sqrt{2}\sin\theta = 0$ より $\theta = 0$ です。

$y = 1$ のとき、$\sqrt{2}\sin\theta = 1$ より $\sin\theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$ となり、$\theta = \frac{\pi}{4}$ です。

したがって、積分は次のようになります。

$\int_0^1 \sqrt{2 - y^2} \, dy = \int_0^{\pi/4} \sqrt{2 - 2\sin^2\theta} \cdot \sqrt{2}\cos\theta \, d\theta$

$\int_0^{\pi/4} \sqrt{2(1 - \sin^2\theta)} \cdot \sqrt{2}\cos\theta \, d\theta = \int_0^{\pi/4} \sqrt{2\cos^2\theta} \cdot \sqrt{2}\cos\theta \, d\theta$

$= \int_0^{\pi/4} \sqrt{2}\cos\theta \cdot \sqrt{2}\cos\theta \, d\theta = \int_0^{\pi/4} 2\cos^2\theta \, d\theta$

$\cos^2\theta = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2}$ を使うと、

$\int_0^{\pi/4} 2\cos^2\theta \, d\theta = \int_0^{\pi/4} 2\cdot\frac{1 + \cos(2\theta)}{2} \, d\theta = \int_0^{\pi/4} (1 + \cos(2\theta)) \, d\theta$

$= \left[\theta + \frac{1}{2}\sin(2\theta)\right]_0^{\pi/4} = \left(\frac{\pi}{4} + \frac{1}{2}\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)\right) - \left(0 + \frac{1}{2}\sin(0)\right)$

$= \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2}\cdot 1 - 0 = \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{4} + \frac{1}{2}$