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$\alpha$ の動径は第3象限にあり、$\beta$ の動径は第1象限にあるとする。$\sin \alpha = -\frac{3}{4}$, $\cos \beta = \frac{2}{3}$ のとき、次の値を求めよ。 (1) $\sin(\alpha+\beta)$ (2) $\sin(\alpha-\beta)$ (3) $\cos(\alpha+\beta)$ (4) $\cos(\alpha-\beta)$

解析学三角関数加法定理三角関数の合成
2025/7/1

1. 問題の内容

α\alpha の動径は第3象限にあり、β\beta の動径は第1象限にあるとする。sin⁡α=−34\sin \alpha = -\frac{3}{4}, cos⁡β=23\cos \beta = \frac{2}{3} のとき、次の値を求めよ。
(1) sin⁡(α+β)\sin(\alpha+\beta)
(2) sin⁡(α−β)\sin(\alpha-\beta)
(3) cos⁡(α+β)\cos(\alpha+\beta)
(4) cos⁡(α−β)\cos(\alpha-\beta)

2. 解き方の手順

まず、cos⁡α\cos \alpha と sin⁡β\sin \beta を求める。
α\alpha は第3象限にあるので、cos⁡α<0\cos \alpha < 0 である。sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 より、
cos⁡2α=1−sin⁡2α=1−(−34)2=1−916=716\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - \left(-\frac{3}{4}\right)^2 = 1 - \frac{9}{16} = \frac{7}{16}.
したがって、cos⁡α=−716=−74\cos \alpha = -\sqrt{\frac{7}{16}} = -\frac{\sqrt{7}}{4}.
β\beta は第1象限にあるので、sin⁡β>0\sin \beta > 0 である。sin⁡2β+cos⁡2β=1\sin^2 \beta + \cos^2 \beta = 1 より、
sin⁡2β=1−cos⁡2β=1−(23)2=1−49=59\sin^2 \beta = 1 - \cos^2 \beta = 1 - \left(\frac{2}{3}\right)^2 = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}.
したがって、sin⁡β=59=53\sin \beta = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}.
(1) sin⁡(α+β)=sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β=(−34)(23)+(−74)(53)=−612−3512=−6−3512\sin(\alpha+\beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta = \left(-\frac{3}{4}\right)\left(\frac{2}{3}\right) + \left(-\frac{\sqrt{7}}{4}\right)\left(\frac{\sqrt{5}}{3}\right) = -\frac{6}{12} - \frac{\sqrt{35}}{12} = \frac{-6-\sqrt{35}}{12}
(2) sin⁡(α−β)=sin⁡αcos⁡β−cos⁡αsin⁡β=(−34)(23)−(−74)(53)=−612+3512=−6+3512\sin(\alpha-\beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta = \left(-\frac{3}{4}\right)\left(\frac{2}{3}\right) - \left(-\frac{\sqrt{7}}{4}\right)\left(\frac{\sqrt{5}}{3}\right) = -\frac{6}{12} + \frac{\sqrt{35}}{12} = \frac{-6+\sqrt{35}}{12}
(3) cos⁡(α+β)=cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β=(−74)(23)−(−34)(53)=−2712+3512=−27+3512\cos(\alpha+\beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta = \left(-\frac{\sqrt{7}}{4}\right)\left(\frac{2}{3}\right) - \left(-\frac{3}{4}\right)\left(\frac{\sqrt{5}}{3}\right) = -\frac{2\sqrt{7}}{12} + \frac{3\sqrt{5}}{12} = \frac{-2\sqrt{7}+3\sqrt{5}}{12}
(4) cos⁡(α−β)=cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β=(−74)(23)+(−34)(53)=−2712−3512=−27−3512\cos(\alpha-\beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta = \left(-\frac{\sqrt{7}}{4}\right)\left(\frac{2}{3}\right) + \left(-\frac{3}{4}\right)\left(\frac{\sqrt{5}}{3}\right) = -\frac{2\sqrt{7}}{12} - \frac{3\sqrt{5}}{12} = \frac{-2\sqrt{7}-3\sqrt{5}}{12}

3. 最終的な答え

(1) sin⁡(α+β)=−6−3512\sin(\alpha+\beta) = \frac{-6-\sqrt{35}}{12}
(2) sin⁡(α−β)=−6+3512\sin(\alpha-\beta) = \frac{-6+\sqrt{35}}{12}
(3) cos⁡(α+β)=−27+3512\cos(\alpha+\beta) = \frac{-2\sqrt{7}+3\sqrt{5}}{12}
(4) cos⁡(α−β)=−27−3512\cos(\alpha-\beta) = \frac{-2\sqrt{7}-3\sqrt{5}}{12}

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