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次の定積分を計算します。 $\int_{0}^{2\pi} e^{-t}|\sin t| dt$

解析学定積分絶対値部分積分指数関数三角関数
2025/7/1

1. 問題の内容

次の定積分を計算します。
∫02πe−t∣sin⁡t∣dt\int_{0}^{2\pi} e^{-t}|\sin t| dt

2. 解き方の手順

∣sin⁡t∣|\sin t| を 0≤t≤2π0 \le t \le 2\pi の区間で場合分けして考えます。
0≤t≤π0 \le t \le \pi では sin⁡t≥0\sin t \ge 0 なので、 ∣sin⁡t∣=sin⁡t|\sin t| = \sin t です。
π≤t≤2π\pi \le t \le 2\pi では sin⁡t≤0\sin t \le 0 なので、 ∣sin⁡t∣=−sin⁡t|\sin t| = -\sin t です。
したがって、積分は次のように分解できます。
∫02πe−t∣sin⁡t∣dt=∫0πe−tsin⁡tdt+∫π2πe−t(−sin⁡t)dt\int_{0}^{2\pi} e^{-t}|\sin t| dt = \int_{0}^{\pi} e^{-t}\sin t dt + \int_{\pi}^{2\pi} e^{-t}(-\sin t) dt
ここで、部分積分を用いて ∫e−tsin⁡tdt\int e^{-t}\sin t dt を計算します。
I=∫e−tsin⁡tdtI = \int e^{-t}\sin t dt とおくと、
u=sin⁡tu = \sin t, dv=e−tdtdv = e^{-t}dt より、 du=cos⁡tdtdu = \cos t dt, v=−e−tv = -e^{-t} なので、
I=−e−tsin⁡t−∫(−e−t)cos⁡tdt=−e−tsin⁡t+∫e−tcos⁡tdtI = -e^{-t}\sin t - \int (-e^{-t})\cos t dt = -e^{-t}\sin t + \int e^{-t}\cos t dt
さらに、部分積分を用いて ∫e−tcos⁡tdt\int e^{-t}\cos t dt を計算します。
u=cos⁡tu = \cos t, dv=e−tdtdv = e^{-t}dt より、 du=−sin⁡tdtdu = -\sin t dt, v=−e−tv = -e^{-t} なので、
∫e−tcos⁡tdt=−e−tcos⁡t−∫(−e−t)(−sin⁡t)dt=−e−tcos⁡t−∫e−tsin⁡tdt=−e−tcos⁡t−I\int e^{-t}\cos t dt = -e^{-t}\cos t - \int (-e^{-t})(-\sin t) dt = -e^{-t}\cos t - \int e^{-t}\sin t dt = -e^{-t}\cos t - I
したがって、
I=−e−tsin⁡t+(−e−tcos⁡t−I)=−e−t(sin⁡t+cos⁡t)−II = -e^{-t}\sin t + (-e^{-t}\cos t - I) = -e^{-t}(\sin t + \cos t) - I
2I=−e−t(sin⁡t+cos⁡t)2I = -e^{-t}(\sin t + \cos t)
I=−12e−t(sin⁡t+cos⁡t)I = -\frac{1}{2}e^{-t}(\sin t + \cos t)
したがって、∫e−tsin⁡tdt=−12e−t(sin⁡t+cos⁡t)\int e^{-t}\sin t dt = -\frac{1}{2}e^{-t}(\sin t + \cos t) となります。
∫0πe−tsin⁡tdt=[−12e−t(sin⁡t+cos⁡t)]0π=−12e−π(sin⁡π+cos⁡π)−(−12e−0(sin⁡0+cos⁡0))=−12e−π(0−1)+12(0+1)=12e−π+12\int_{0}^{\pi} e^{-t}\sin t dt = \left[-\frac{1}{2}e^{-t}(\sin t + \cos t)\right]_{0}^{\pi} = -\frac{1}{2}e^{-\pi}(\sin \pi + \cos \pi) - \left(-\frac{1}{2}e^{-0}(\sin 0 + \cos 0)\right) = -\frac{1}{2}e^{-\pi}(0 - 1) + \frac{1}{2}(0 + 1) = \frac{1}{2}e^{-\pi} + \frac{1}{2}
∫π2πe−t(−sin⁡t)dt=−∫π2πe−tsin⁡tdt=−[−12e−t(sin⁡t+cos⁡t)]π2π=12[e−t(sin⁡t+cos⁡t)]π2π=12[e−2π(sin⁡2π+cos⁡2π)−e−π(sin⁡π+cos⁡π)]=12[e−2π(0+1)−e−π(0−1)]=12e−2π+12e−π\int_{\pi}^{2\pi} e^{-t}(-\sin t) dt = -\int_{\pi}^{2\pi} e^{-t}\sin t dt = -\left[-\frac{1}{2}e^{-t}(\sin t + \cos t)\right]_{\pi}^{2\pi} = \frac{1}{2}\left[e^{-t}(\sin t + \cos t)\right]_{\pi}^{2\pi} = \frac{1}{2}\left[e^{-2\pi}(\sin 2\pi + \cos 2\pi) - e^{-\pi}(\sin \pi + \cos \pi)\right] = \frac{1}{2}\left[e^{-2\pi}(0 + 1) - e^{-\pi}(0 - 1)\right] = \frac{1}{2}e^{-2\pi} + \frac{1}{2}e^{-\pi}
したがって、
∫02πe−t∣sin⁡t∣dt=12e−π+12+12e−2π+12e−π=12+e−π+12e−2π=12(1+2e−π+e−2π)=12(1+e−π)2\int_{0}^{2\pi} e^{-t}|\sin t| dt = \frac{1}{2}e^{-\pi} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}e^{-2\pi} + \frac{1}{2}e^{-\pi} = \frac{1}{2} + e^{-\pi} + \frac{1}{2}e^{-2\pi} = \frac{1}{2}(1 + 2e^{-\pi} + e^{-2\pi}) = \frac{1}{2}(1 + e^{-\pi})^2

3. 最終的な答え

12(1+e−π)2\frac{1}{2}(1 + e^{-\pi})^2

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