媒介変数表示された関数 $x = \sin t$, $y = \sin 2t$ ($0 \le t \le \frac{\pi}{2}$) について、$\int_0^1 y dx$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

媒介変数表示された関数 $x = \sin t$, $y = \sin 2t$ ($0 \le t \le \frac{\pi}{2}$) について、$\int_0^1 y dx$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

まず、$dx$ を $dt$ で表します。$x = \sin t$ より、

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\frac{dx}{dt} = \cos t

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よって、

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dx = \cos t \, dt

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次に、積分区間を $t$ で表します。$x$ が $0$ から $1$ まで変化するとき、$t$ は $0$ から $\frac{\pi}{2}$ まで変化します。

したがって、

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\int_0^1 y \, dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin 2t \cdot \cos t \, dt

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ここで、$\sin 2t = 2 \sin t \cos t$ を用いると、

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\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin 2t \cdot \cos t \, dt = \int_0^{\frac{\pi}{2}} 2 \sin t \cos^2 t \, dt

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ここで、$u = \cos t$ と置換すると、$du = - \sin t \, dt$ となり、積分区間は、$t=0$ のとき $u = \cos 0 = 1$、$t=\frac{\pi}{2}$ のとき $u = \cos \frac{\pi}{2} = 0$ となります。したがって、

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\int_0^{\frac{\pi}{2}} 2 \sin t \cos^2 t \, dt = \int_1^0 2u^2 (-du) = -2 \int_1^0 u^2 du = 2 \int_0^1 u^2 du

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2 \int_0^1 u^2 du = 2 \left[ \frac{1}{3} u^3 \right]_0^1 = 2 \left( \frac{1}{3} - 0 \right) = \frac{2}{3}

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3. 最終的な答え

$\frac{2}{3}$