媒介変数表示された曲線 $x = \sin t$, $y = \sin 2t$ ($0 \le t \le \frac{\pi}{2}$) に対して、$\int_0^1 y dx$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

媒介変数表示された曲線 $x = \sin t$, $y = \sin 2t$ ($0 \le t \le \frac{\pi}{2}$) に対して、$\int_0^1 y dx$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

積分変数を $t$ に変換します。

まず、$dx$ を $dt$ で表します。$x = \sin t$ より、$dx = \frac{dx}{dt} dt = \cos t dt$ となります。

次に、積分範囲を $t$ の範囲に変換します。

$x=0$ のとき、$\sin t = 0$ より、$t = 0$ です。

$x=1$ のとき、$\sin t = 1$ より、$t = \frac{\pi}{2}$ です。

したがって、積分は次のようになります。

$\int_0^1 y dx = \int_0^{\pi/2} (\sin 2t) (\cos t) dt$

ここで、$\sin 2t = 2 \sin t \cos t$ であるから、

$\int_0^{\pi/2} (\sin 2t) (\cos t) dt = \int_0^{\pi/2} (2 \sin t \cos t) (\cos t) dt = 2 \int_0^{\pi/2} \sin t \cos^2 t dt$

$u = \cos t$ と置換すると、$du = - \sin t dt$ となります。

積分範囲は、$t=0$ のとき $u = \cos 0 = 1$ で、$t = \frac{\pi}{2}$ のとき $u = \cos \frac{\pi}{2} = 0$ となります。

よって、積分は

$2 \int_1^0 u^2 (-du) = -2 \int_1^0 u^2 du = 2 \int_0^1 u^2 du = 2 \left[ \frac{u^3}{3} \right]_0^1 = 2 \left( \frac{1^3}{3} - \frac{0^3}{3} \right) = 2 \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{2}{3}$