2次関数 $y = x^2 + 2x + m + 1$ のグラフと $x$ 軸の共有点の個数が、定数 $m$ の値によってどのように変わるか調べる問題です。

1. 問題の内容

2次関数 $y = x^2 + 2x + m + 1$ のグラフと $x$ 軸の共有点の個数が、定数 $m$ の値によってどのように変わるか調べる問題です。

2. 解き方の手順

2次関数 $y = x^2 + 2x + m + 1$ のグラフと $x$ 軸の共有点の個数は、2次方程式 $x^2 + 2x + m + 1 = 0$ の実数解の個数に等しいです。

したがって、この2次方程式の判別式 $D$ を計算し、$D$ の符号によって共有点の個数を判断します。

判別式 $D$ は、

$D = b^2 - 4ac$

で与えられます。ここで、$a=1$, $b=2$, $c=m+1$ ですから、

$D = 2^2 - 4(1)(m+1) = 4 - 4m - 4 = -4m$

となります。

$D > 0$ のとき、実数解は2個なので、共有点は2個です。

$D = 0$ のとき、実数解は1個なので、共有点は1個です。

$D < 0$ のとき、実数解は0個なので、共有点は0個です。

したがって、

- $D = -4m > 0$ のとき、つまり $m < 0$ のとき、共有点は2個

- $D = -4m = 0$ のとき、つまり $m = 0$ のとき、共有点は1個

- $D = -4m < 0$ のとき、つまり $m > 0$ のとき、共有点は0個

3. 最終的な答え

- $m < 0$ のとき、共有点は2個

- $m = 0$ のとき、共有点は1個

- $m > 0$ のとき、共有点は0個