## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

与えられた二次関数の定義域における最大値と最小値を求める問題です。

(1) $y = 3x^2 - 4$ ($-2 \le x \le 2$)

(2) $y = 2x^2 - 4x + 3$ ($x \ge 2$)

(3) $y = x^2 - 4x + 2$ ($-2 < x \le 4$)

(4) $y = -x^2 - 6x + 1$ ($0 \le x < 2$)

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2. 解き方の手順

各二次関数について、平方完成を行い、頂点の座標を求めます。

次に、与えられた定義域内で関数の増減を調べ、最大値と最小値を求めます。

(1) $y = 3x^2 - 4$ ($-2 \le x \le 2$)

この関数はすでに平方完成された形です。頂点は $(0, -4)$ です。

定義域 $-2 \le x \le 2$ において、

$x = 0$ のとき、最小値 $y = -4$ を取ります。

$x = -2$ または $x = 2$ のとき、最大値 $y = 3(2)^2 - 4 = 12 - 4 = 8$ を取ります。

(2) $y = 2x^2 - 4x + 3$ ($x \ge 2$)

平方完成します。

$y = 2(x^2 - 2x) + 3 = 2(x^2 - 2x + 1 - 1) + 3 = 2(x - 1)^2 - 2 + 3 = 2(x - 1)^2 + 1$

頂点は $(1, 1)$ です。しかし、$x \ge 2$ なので、頂点は定義域に含まれません。

$x \ge 2$ において、関数は単調増加です。

$x = 2$ のとき、最小値 $y = 2(2 - 1)^2 + 1 = 2(1) + 1 = 3$ を取ります。

最大値は存在しません。

(3) $y = x^2 - 4x + 2$ ($-2 < x \le 4$)

平方完成します。

$y = x^2 - 4x + 4 - 4 + 2 = (x - 2)^2 - 2$

頂点は $(2, -2)$ です。

定義域 $-2 < x \le 4$ において、

$x = 2$ のとき、最小値 $y = -2$ を取ります。

$x = 4$ のとき、$y = (4 - 2)^2 - 2 = 4 - 2 = 2$ を取ります。

$x = -2$ に近づくとき、$y = (-2 - 2)^2 - 2 = 16 - 2 = 14$ に近づきますが、$x = -2$ は定義域に含まれないため、最大値は存在しません。

(4) $y = -x^2 - 6x + 1$ ($0 \le x < 2$)

平方完成します。

$y = -(x^2 + 6x) + 1 = -(x^2 + 6x + 9 - 9) + 1 = -(x + 3)^2 + 9 + 1 = -(x + 3)^2 + 10$

頂点は $(-3, 10)$ です。しかし、$0 \le x < 2$ なので、頂点は定義域に含まれません。

$0 \le x < 2$ において、関数は単調減少です。

$x = 0$ のとき、最大値 $y = -(0 + 3)^2 + 10 = -9 + 10 = 1$ を取ります。

$x = 2$ に近づくとき、$y = -(2 + 3)^2 + 10 = -25 + 10 = -15$ に近づきますが、$x = 2$ は定義域に含まれないため、最小値は存在しません。

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3. 最終的な答え

(1) 最大値：8 ($x = -2, 2$ のとき), 最小値：-4 ($x = 0$ のとき)

(2) 最小値：3 ($x = 2$ のとき), 最大値：なし

(3) 最小値：-2 ($x = 2$ のとき), 最大値：なし

(4) 最大値：1 ($x = 0$ のとき), 最小値：なし