問題11は、実数x, yに関する条件が与えられたとき、「必要条件」、「十分条件」、「必要十分条件」のどれに当てはまるかを判断する問題です。 問題12は、実数a, bや自然数nに関する条件の否定を記述する問題です。

1. 問題の内容

問題11は、実数x, yに関する条件が与えられたとき、「必要条件」、「十分条件」、「必要十分条件」のどれに当てはまるかを判断する問題です。

問題12は、実数a, bや自然数nに関する条件の否定を記述する問題です。

2. 解き方の手順

問題11：

(1) $x = 2$ は $x^2 - x - 2 = 0$ であるための条件を考えます。

$x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1) = 0$なので、$x = 2$または$x = -1$です。

$x = 2$ならば$x^2 - x - 2 = 0$は成り立ちますが、$x^2 - x - 2 = 0$でも$x = 2$とは限りません。

したがって、$x=2$は$x^2-x-2=0$であるための十分条件です。

(2) 「$\triangle ABC \sim \triangle PQR$」は「$\triangle ABC \equiv \triangle PQR$」であるための条件を考えます。

$\triangle ABC \equiv \triangle PQR$ ならば $\triangle ABC \sim \triangle PQR$は成り立ちます。

しかし、$\triangle ABC \sim \triangle PQR$でも$\triangle ABC \equiv \triangle PQR$とは限りません。

したがって、「$\triangle ABC \sim \triangle PQR$」は「$\triangle ABC \equiv \triangle PQR$」であるための必要条件です。

(3) $x = y = 2$ は $2x - y = 2y - x = 2$ であるための条件を考えます。

$x=y=2$を$2x - y = 2y - x = 2$に代入すると$2(2) - 2 = 4 - 2 = 2$となり成立します。

また、$2x - y = 2$と$2y - x = 2$から$2x - y = 2y - x$なので、$3x = 3y$、$x = y$です。

$2x - y = 2$に$x = y$を代入すると、$2x - x = 2$、$x = 2$となり、$y = 2$も得られます。

したがって、$x = y = 2$は$2x - y = 2y - x = 2$であるための必要十分条件です。

(4) $xy \neq 0$ は $x \neq 0$ であるための条件を考えます。

$xy \neq 0$ ならば、$x \neq 0$かつ$y \neq 0$です。

$x \neq 0$ でも、$y = 0$ のとき $xy = 0$ となるので、$xy \neq 0$とは限りません。

したがって、$xy \neq 0$ は $x \neq 0$ であるための十分条件です。

問題12：

(1) $a = -2$の否定は、$a \neq -2$です。

(2) $a \geq 3$の否定は、$a < 3$です。

(3) $a^2 + b^2 < 4$の否定は、$a^2 + b^2 \geq 4$です。

(4) $n$は奇数である、の否定は、$n$は奇数ではない、または、$n$は偶数である、です。

3. 最終的な答え

問題11：

(1) 十分条件

(2) 必要条件

(3) 必要十分条件

(4) 十分条件

問題12：

(1) $a \neq -2$

(2) $a < 3$

(3) $a^2 + b^2 \geq 4$

(4) $n$は奇数ではない (または $n$は偶数である)