関数 $y = -x^2 + 6x + c$ の $1 \le x \le 4$ における最小値が -2 であるとき、定数 $c$ の値を求め、そのときの最大値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = -x^2 + 6x + c$ の $1 \le x \le 4$ における最小値が -2 であるとき、定数 $c$ の値を求め、そのときの最大値を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 関数 $y = -x^2 + 6x + c$ を平方完成します。

$y = -(x^2 - 6x) + c$

$y = -(x^2 - 6x + 9 - 9) + c$

$y = -(x - 3)^2 + 9 + c$

これは、頂点が $(3, 9+c)$ の上に凸な放物線です。

(2) 定義域 $1 \le x \le 4$ を考慮します。

軸 $x=3$ は定義域内にあるため、頂点で最大値をとります。

定義域の端点における関数の値を計算します。

$x=1$ のとき、$y = -1^2 + 6(1) + c = -1 + 6 + c = 5+c$

$x=4$ のとき、$y = -4^2 + 6(4) + c = -16 + 24 + c = 8+c$

したがって、$x=1$のとき最小値をとります。

最小値が -2 なので、$5 + c = -2$

(3) $c$ の値を求めます。

$5 + c = -2$

$c = -2 - 5$

$c = -7$

(4) 最大値を求めます。

$y = -(x - 3)^2 + 9 + c$ に $c = -7$ を代入すると、

$y = -(x - 3)^2 + 9 - 7 = -(x - 3)^2 + 2$

頂点における$y$の値は$9+c = 9-7=2$。

$1 \le x \le 4$において、$x=3$のときに最大値をとります。

したがって、最大値は2です。

あるいは、$x=4$のとき、$8+c = 8-7=1$です。$y=8+c$のほうが$5+c$より大きいです。したがって、最小値を与える$x$の値は$x=1$となります。

3. 最終的な答え

$c = -7$

最大値: 2