x, y は実数とする。以下の(2),(3),(5)において、空欄に当てはまるものを選択肢(1)必要条件であるが十分条件ではない, (2)十分条件であるが必要条件ではない, (3)必要十分条件である, (4)必要条件でも十分条件でもないの中から選び、番号で答えよ。 (2) $xy + 1 = x + y$ は $x=1$ または $y=1$ であるための□。 (3) $x > 0$ は $x > 1$ であるための□。 (5) $\triangle ABC$ において、$\angle A < 90^{\circ}$ は $\triangle ABC$ が鋭角三角形であるための□。

1. 問題の内容

x, y は実数とする。以下の(2),(3),(5)において、空欄に当てはまるものを選択肢(1)必要条件であるが十分条件ではない, (2)十分条件であるが必要条件ではない, (3)必要十分条件である, (4)必要条件でも十分条件でもないの中から選び、番号で答えよ。

(2) $xy + 1 = x + y$ は $x=1$ または $y=1$ であるための□。

(3) $x > 0$ は $x > 1$ であるための□。

(5) $\triangle ABC$ において、$\angle A < 90^{\circ}$ は $\triangle ABC$ が鋭角三角形であるための□。

2. 解き方の手順

(2)

$xy + 1 = x + y$を変形すると、

$xy - x - y + 1 = 0$

$(x-1)(y-1) = 0$

よって、$x=1$ または $y=1$ が成り立つ。

したがって、$xy + 1 = x + y \Leftrightarrow x=1$ または $y=1$であるから、必要十分条件である。

(3)

$x > 0 \Rightarrow x > 1$ は成り立たない。（例えば、$x = 0.5$）

$x > 1 \Rightarrow x > 0$ は成り立つ。

したがって、$x > 0$ は $x > 1$ であるための必要条件であるが、十分条件ではない。

(5)

$\angle A < 90^{\circ}$ は $\triangle ABC$ が鋭角三角形であるための必要条件。鋭角三角形の定義はすべての角が90度より小さいことで、角Aが90度より小さいことは鋭角三角形であることの一部であるため、必要条件である。

$\angle A < 90^{\circ}$ は $\triangle ABC$ が鋭角三角形であるための十分条件ではない。$\angle B$と$\angle C$が90度以上の場合、鋭角三角形とは言えない。

3. 最終的な答え

(2) 3

(3) 1

(5) 1