3次方程式 $2x^3 - 3x^2 - 12x - a = 0$ が異なる3つの実数解を持つような $a$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

3次方程式 $2x^3 - 3x^2 - 12x - a = 0$ が異なる3つの実数解を持つような $a$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

与えられた方程式を $f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x - a = 0$ とおく。

$f(x)$ が異なる3つの実数解を持つためには、$f(x)$ の極大値と極小値が存在し、かつそれらの積が負である必要がある。

まず、$f(x)$ を微分して、極値を与える $x$ の値を求める。

$f'(x) = 6x^2 - 6x - 12 = 6(x^2 - x - 2) = 6(x-2)(x+1)$

$f'(x) = 0$ となるのは、$x = 2$ または $x = -1$ のとき。

$x = -1$ のとき、$f(-1) = 2(-1)^3 - 3(-1)^2 - 12(-1) - a = -2 - 3 + 12 - a = 7 - a$

$x = 2$ のとき、$f(2) = 2(2)^3 - 3(2)^2 - 12(2) - a = 16 - 12 - 24 - a = -20 - a$

$x = -1$ で極大値、 $x = 2$ で極小値を取るから、

$f(-1) > 0$ かつ $f(2) < 0$ である必要がある。

したがって、$f(-1) \cdot f(2) < 0$ となる。

$(7 - a)(-20 - a) < 0$

$(a - 7)(a + 20) < 0$

この不等式を解くと、 $-20 < a < 7$

3. 最終的な答え

$-20 < a < 7$