4次方程式 $x^4 + 4x - a = 0$ が実数解を持たないような $a$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

4次方程式 $x^4 + 4x - a = 0$ が実数解を持たないような $a$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

$f(x) = x^4 + 4x - a$ とおく。

$f'(x) = 4x^3 + 4 = 4(x^3 + 1)$

$f'(x) = 0$ となるのは $x^3 + 1 = 0$ より $x = -1$ のとき。

$f'(x)$ の符号は、$x < -1$ で $f'(x) < 0$, $x > -1$ で $f'(x) > 0$ となるので、$f(x)$ は $x = -1$ で極小値を取る。

極小値は $f(-1) = (-1)^4 + 4(-1) - a = 1 - 4 - a = -3 - a$ である。

4次方程式 $f(x) = 0$ が実数解を持たないためには、$f(x)$ の最小値が正である必要がある。つまり、$f(-1) > 0$ でなければならない。

$-3 - a > 0$

$a < -3$

3. 最終的な答え

$a < -3$