与えられた条件を満たす放物線の方程式を求める問題です。放物線の軸は $y$ 軸と平行であるという条件が与えられています。具体的には、以下の3つの小問題があります。 (1) 頂点が $(-2, -8)$ で原点を通る。 (2) 軸が直線 $x=3$ で2点 $(2, -2)$ と $(5, 4)$ を通る。 (3) 頂点が $y$ 軸上にあり、2点 $(1, 1)$ と $(2, -5)$ を通る。

1. 問題の内容

与えられた条件を満たす放物線の方程式を求める問題です。放物線の軸は $y$ 軸と平行であるという条件が与えられています。具体的には、以下の3つの小問題があります。

(1) 頂点が $(-2, -8)$ で原点を通る。

(2) 軸が直線 $x=3$ で2点 $(2, -2)$ と $(5, 4)$ を通る。

(3) 頂点が $y$ 軸上にあり、2点 $(1, 1)$ と $(2, -5)$ を通る。

2. 解き方の手順

(1) 頂点が $(-2, -8)$ で原点を通る場合:

放物線の方程式は、頂点の座標を $(h, k)$ とすると、

$y = a(x - h)^2 + k$

と表すことができます。頂点が $(-2, -8)$ であるので、

$y = a(x + 2)^2 - 8$

となります。この放物線が原点 $(0, 0)$ を通るので、 $x = 0$, $y = 0$ を代入します。

$0 = a(0 + 2)^2 - 8$

$0 = 4a - 8$

$4a = 8$

$a = 2$

したがって、放物線の方程式は

$y = 2(x + 2)^2 - 8 = 2(x^2 + 4x + 4) - 8 = 2x^2 + 8x + 8 - 8 = 2x^2 + 8x$

(2) 軸が直線 $x = 3$ で2点 $(2, -2)$ と $(5, 4)$ を通る場合:

放物線の方程式は、軸が $x = 3$ であることから、

$y = a(x - 3)^2 + q$

と表すことができます。この放物線が2点 $(2, -2)$ と $(5, 4)$ を通るので、それぞれの点を代入します。

$-2 = a(2 - 3)^2 + q$

$-2 = a + q$ ...(1)

$4 = a(5 - 3)^2 + q$

$4 = 4a + q$ ...(2)

(2) - (1) より

$6 = 3a$

$a = 2$

(1)に $a = 2$ を代入すると、

$-2 = 2 + q$

$q = -4$

したがって、放物線の方程式は

$y = 2(x - 3)^2 - 4 = 2(x^2 - 6x + 9) - 4 = 2x^2 - 12x + 18 - 4 = 2x^2 - 12x + 14$

(3) 頂点が $y$ 軸上にあり、2点 $(1, 1)$ と $(2, -5)$ を通る場合:

頂点が $y$ 軸上にあるので、頂点の $x$ 座標は $0$ です。したがって、頂点の座標を $(0, q)$ とすると、放物線の方程式は

$y = a(x - 0)^2 + q = ax^2 + q$

と表すことができます。この放物線が2点 $(1, 1)$ と $(2, -5)$ を通るので、それぞれの点を代入します。

$1 = a(1)^2 + q$

$1 = a + q$ ...(3)

$-5 = a(2)^2 + q$

$-5 = 4a + q$ ...(4)

(4) - (3) より

$-6 = 3a$

$a = -2$

(3) に $a = -2$ を代入すると、

$1 = -2 + q$

$q = 3$

したがって、放物線の方程式は

$y = -2x^2 + 3$

3. 最終的な答え

(1) $y = 2x^2 + 8x$

(2) $y = 2x^2 - 12x + 14$

(3) $y = -2x^2 + 3$