$\sum_{k=1}^{n} (2k+1)^2$ を計算してください。

1. 問題の内容

$\sum_{k=1}^{n} (2k+1)^2$ を計算してください。

2. 解き方の手順

まず、$(2k+1)^2$ を展開します。

$(2k+1)^2 = 4k^2 + 4k + 1$

次に、$\sum_{k=1}^{n} (4k^2 + 4k + 1)$ を計算します。

$\sum_{k=1}^{n} (4k^2 + 4k + 1) = 4\sum_{k=1}^{n} k^2 + 4\sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} 1$

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{k=1}^{n} 1 = n$

したがって、

$4\sum_{k=1}^{n} k^2 + 4\sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} 1 = 4\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 4\frac{n(n+1)}{2} + n$

$= \frac{2n(n+1)(2n+1)}{3} + 2n(n+1) + n$

$= \frac{2n(n+1)(2n+1) + 6n(n+1) + 3n}{3}$

$= \frac{n[2(n+1)(2n+1) + 6(n+1) + 3]}{3}$

$= \frac{n[2(2n^2 + 3n + 1) + 6n + 6 + 3]}{3}$

$= \frac{n[4n^2 + 6n + 2 + 6n + 9]}{3}$

$= \frac{n(4n^2 + 12n + 11)}{3}$

$= \frac{4n^3 + 12n^2 + 11n}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{4n^3 + 12n^2 + 11n}{3}$