与えられた問題は、総和の計算です。具体的には、$\sum_{k=1}^{n} 5^{k-1}$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた問題は、総和の計算です。具体的には、$\sum_{k=1}^{n} 5^{k-1}$ を計算します。

2. 解き方の手順

この総和は等比数列の和の形をしています。等比数列の和の公式を使うことができます。等比数列の初項を $a$、公比を $r$、項数を $n$ とすると、和 $S_n$ は次の式で与えられます。

$S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$

今回の問題では、$k=1$ から $n$ までの和なので、

初項 $a = 5^{1-1} = 5^0 = 1$

公比 $r = 5$

項数 $n = n$

したがって、等比数列の和の公式に代入すると、

$S_n = \frac{1(5^n - 1)}{5 - 1} = \frac{5^n - 1}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{5^n - 1}{4}$