$a$ を定数とする。関数 $y = -x^2 + 4ax - a$ ($0 \le x \le 2$) について、以下の問いに答える。 (1) 最大値を求めよ。 (2) 最小値を求めよ。

1. 問題の内容

$a$ を定数とする。関数 $y = -x^2 + 4ax - a$ ($0 \le x \le 2$) について、以下の問いに答える。

(1) 最大値を求めよ。

(2) 最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

与えられた関数を平方完成する。

$y = -x^2 + 4ax - a = -(x^2 - 4ax) - a = -(x^2 - 4ax + 4a^2 - 4a^2) - a = -(x-2a)^2 + 4a^2 - a$

グラフは上に凸の放物線であり、軸は $x=2a$ である。定義域は $0 \le x \le 2$ である。

(1) 最大値を求める。

軸の位置によって場合分けする。

(i) $2a < 0$ つまり $a < 0$ のとき：

定義域内で $x$ が大きいほど $y$ は大きくなるので、$x=2$ で最大値をとる。

$y(2) = -2^2 + 4a(2) - a = -4 + 8a - a = 7a - 4$

(ii) $0 \le 2a \le 2$ つまり $0 \le a \le 1$ のとき：

頂点で最大値をとる。

$y(2a) = 4a^2 - a$

(iii) $2 < 2a$ つまり $1 < a$ のとき：

定義域内で $x$ が小さいほど $y$ は大きくなるので、$x=0$ で最大値をとる。

$y(0) = -0^2 + 4a(0) - a = -a$

(2) 最小値を求める。

定義域の中央の値は $x=1$ である。軸 $x=2a$ と $x=1$ の大小関係で場合分けする。

(i) $2a < 1$ つまり $a < \frac{1}{2}$ のとき：

$x=2$ で最小値をとる。

$y(2) = 7a - 4$

(ii) $1 \le 2a$ つまり $\frac{1}{2} \le a$ のとき：

$x=0$ で最小値をとる。

$y(0) = -a$

3. 最終的な答え

(1) 最大値

$a < 0$ のとき、 $7a - 4$

$0 \le a \le 1$ のとき、 $4a^2 - a$

$1 < a$ のとき、 $-a$

(2) 最小値

$a < \frac{1}{2}$ のとき、 $7a - 4$

$\frac{1}{2} \le a$ のとき、 $-a$