## 問題の解答

## 問題の解答

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1. 問題の内容

次の4つの式を計算しなさい。

(1) $\frac{1}{\sqrt{5}} - \frac{1}{\sqrt{20}} - \frac{1}{\sqrt{45}}$

(2) $\frac{\sqrt{3} + 2\sqrt{2}}{2\sqrt{3} - \sqrt{2}}$

(3) $\frac{\sqrt{7} - \sqrt{3}}{\sqrt{7} + \sqrt{3}} - \frac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{\sqrt{7} - \sqrt{3}}$

(4) $\frac{1}{1 - \sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2} - \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3} - 2}$

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2. 解き方の手順

**(1)**

まず、$\sqrt{20}$と$\sqrt{45}$を簡単にします。

$\sqrt{20} = \sqrt{4 \times 5} = 2\sqrt{5}$

$\sqrt{45} = \sqrt{9 \times 5} = 3\sqrt{5}$

与えられた式に代入すると、

$\frac{1}{\sqrt{5}} - \frac{1}{2\sqrt{5}} - \frac{1}{3\sqrt{5}}$

$= \frac{6}{6\sqrt{5}} - \frac{3}{6\sqrt{5}} - \frac{2}{6\sqrt{5}}$

$= \frac{6-3-2}{6\sqrt{5}}$

$= \frac{1}{6\sqrt{5}}$

分母を有理化するために、分子と分母に$\sqrt{5}$を掛けます。

$\frac{1}{6\sqrt{5}} \times \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{6 \times 5}$

$= \frac{\sqrt{5}}{30}$

**(2)**

分母を有理化するために、分子と分母に$2\sqrt{3} + \sqrt{2}$を掛けます。

$\frac{\sqrt{3} + 2\sqrt{2}}{2\sqrt{3} - \sqrt{2}} \times \frac{2\sqrt{3} + \sqrt{2}}{2\sqrt{3} + \sqrt{2}}$

$= \frac{(\sqrt{3} + 2\sqrt{2})(2\sqrt{3} + \sqrt{2})}{(2\sqrt{3} - \sqrt{2})(2\sqrt{3} + \sqrt{2})}$

分子を展開します。

$(\sqrt{3} + 2\sqrt{2})(2\sqrt{3} + \sqrt{2}) = 2\sqrt{3}\sqrt{3} + \sqrt{3}\sqrt{2} + 4\sqrt{2}\sqrt{3} + 2\sqrt{2}\sqrt{2}$

$= 2(3) + \sqrt{6} + 4\sqrt{6} + 2(2)$

$= 6 + 5\sqrt{6} + 4$

$= 10 + 5\sqrt{6}$

分母を展開します。

$(2\sqrt{3} - \sqrt{2})(2\sqrt{3} + \sqrt{2}) = (2\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2$

$= 4(3) - 2$

$= 12 - 2$

$= 10$

したがって、

$\frac{10 + 5\sqrt{6}}{10} = \frac{10}{10} + \frac{5\sqrt{6}}{10} = 1 + \frac{\sqrt{6}}{2}$

**(3)**

通分します。

$\frac{\sqrt{7} - \sqrt{3}}{\sqrt{7} + \sqrt{3}} - \frac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{\sqrt{7} - \sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{7} - \sqrt{3})^2 - (\sqrt{7} + \sqrt{3})^2}{(\sqrt{7} + \sqrt{3})(\sqrt{7} - \sqrt{3})}$

分子を展開します。

$(\sqrt{7} - \sqrt{3})^2 = (\sqrt{7})^2 - 2\sqrt{7}\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 7 - 2\sqrt{21} + 3 = 10 - 2\sqrt{21}$

$(\sqrt{7} + \sqrt{3})^2 = (\sqrt{7})^2 + 2\sqrt{7}\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 7 + 2\sqrt{21} + 3 = 10 + 2\sqrt{21}$

$(\sqrt{7} - \sqrt{3})^2 - (\sqrt{7} + \sqrt{3})^2 = (10 - 2\sqrt{21}) - (10 + 2\sqrt{21}) = -4\sqrt{21}$

分母を展開します。

$(\sqrt{7} + \sqrt{3})(\sqrt{7} - \sqrt{3}) = (\sqrt{7})^2 - (\sqrt{3})^2 = 7 - 3 = 4$

したがって、

$\frac{-4\sqrt{21}}{4} = -\sqrt{21}$

**(4)**

それぞれの分母を有理化します。

$\frac{1}{1 - \sqrt{2}} = \frac{1}{1 - \sqrt{2}} \times \frac{1 + \sqrt{2}}{1 + \sqrt{2}} = \frac{1 + \sqrt{2}}{1 - 2} = \frac{1 + \sqrt{2}}{-1} = -1 - \sqrt{2}$

$\frac{1}{\sqrt{2} - \sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{2} - \sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{2} + \sqrt{3}}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{3}}{2 - 3} = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{3}}{-1} = -\sqrt{2} - \sqrt{3}$

$\frac{1}{\sqrt{3} - 2} = \frac{1}{\sqrt{3} - 2} \times \frac{\sqrt{3} + 2}{\sqrt{3} + 2} = \frac{\sqrt{3} + 2}{3 - 4} = \frac{\sqrt{3} + 2}{-1} = -\sqrt{3} - 2$

与えられた式に代入します。

$(-1 - \sqrt{2}) - (-\sqrt{2} - \sqrt{3}) + (-\sqrt{3} - 2) = -1 - \sqrt{2} + \sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{3} - 2 = -3$

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3. 最終的な答え

(1) $\frac{\sqrt{5}}{30}$

(2) $1 + \frac{\sqrt{6}}{2}$

(3) $-\sqrt{21}$

(4) $-3$