与えられた媒介変数表示された曲線について、$x, y$ の方程式を求め、どのような曲線であるかを示す問題です。 (1) $x = 2t^2 + 4$, $y = t + 3$ (2) $x = 2\sqrt{t}$, $y = \sqrt{t} - 2t$

1. 問題の内容

与えられた媒介変数表示された曲線について、$x, y$ の方程式を求め、どのような曲線であるかを示す問題です。

(1) $x = 2t^2 + 4$, $y = t + 3$

(2) $x = 2\sqrt{t}$, $y = \sqrt{t} - 2t$

2. 解き方の手順

(1)

まず、$y = t + 3$ より $t = y - 3$ を得ます。

この結果を $x = 2t^2 + 4$ に代入します。

すると、

$x = 2(y-3)^2 + 4$

$x = 2(y^2 - 6y + 9) + 4$

$x = 2y^2 - 12y + 18 + 4$

$x = 2y^2 - 12y + 22$

$x = 2(y^2 - 6y) + 22$

$x = 2(y^2 - 6y + 9 - 9) + 22$

$x = 2(y - 3)^2 - 18 + 22$

$x = 2(y - 3)^2 + 4$

これは、$y$ についての2次関数なので、放物線です。

(2)

$x = 2\sqrt{t}$ より、$\sqrt{t} = \frac{x}{2}$ が得られます。

これを $y = \sqrt{t} - 2t$ に代入します。

$y = \frac{x}{2} - 2(\sqrt{t})^2$

$y = \frac{x}{2} - 2(\frac{x}{2})^2$

$y = \frac{x}{2} - 2(\frac{x^2}{4})$

$y = \frac{x}{2} - \frac{x^2}{2}$

$2y = x - x^2$

$x^2 - x + 2y = 0$

$x^2 - x + \frac{1}{4} - \frac{1}{4} + 2y = 0$

$(x - \frac{1}{2})^2 = -2y + \frac{1}{4}$

$(x - \frac{1}{2})^2 = -2(y - \frac{1}{8})$

これは、$x$ についての2次関数なので、放物線です。

3. 最終的な答え

(1) $x = 2(y - 3)^2 + 4$ (放物線)

(2) $(x - \frac{1}{2})^2 = -2(y - \frac{1}{8})$ (放物線)