次の和を計算します。 $\sum_{k=1}^{n} (2k - 6)$

1. 問題の内容

次の和を計算します。

$\sum_{k=1}^{n} (2k - 6)$

2. 解き方の手順

まず、和の性質を利用して、和を分解します。

$\sum_{k=1}^{n} (2k - 6) = \sum_{k=1}^{n} 2k - \sum_{k=1}^{n} 6$

次に、定数倍を和の外に出します。

$\sum_{k=1}^{n} 2k - \sum_{k=1}^{n} 6 = 2\sum_{k=1}^{n} k - 6\sum_{k=1}^{n} 1$

$\sum_{k=1}^{n} k$ と $\sum_{k=1}^{n} 1$ を計算します。

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{k=1}^{n} 1 = n$

上記の値を代入します。

$2\sum_{k=1}^{n} k - 6\sum_{k=1}^{n} 1 = 2\cdot\frac{n(n+1)}{2} - 6n$

式を整理します。

$2\cdot\frac{n(n+1)}{2} - 6n = n(n+1) - 6n = n^2 + n - 6n = n^2 - 5n$

3. 最終的な答え

$\sum_{k=1}^{n} (2k - 6) = n^2 - 5n$