関数 $y = x^2 - 2x - 3$ の $-2 \le x \le 3$ における最大値と最小値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = x^2 - 2x - 3$ の $-2 \le x \le 3$ における最大値と最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = x^2 - 2x - 3$

$y = (x^2 - 2x + 1) - 1 - 3$

$y = (x - 1)^2 - 4$

この式から、この関数のグラフは、頂点が $(1, -4)$ であり、下に凸の放物線であることがわかります。

次に、定義域 $-2 \le x \le 3$ における関数の値を考えます。

* $x = 1$ のとき（頂点）、 $y = (1 - 1)^2 - 4 = -4$

* $x = -2$ のとき、$y = (-2 - 1)^2 - 4 = (-3)^2 - 4 = 9 - 4 = 5$

* $x = 3$ のとき、$y = (3 - 1)^2 - 4 = (2)^2 - 4 = 4 - 4 = 0$

したがって、定義域 $-2 \le x \le 3$ において、

* 最大値は $x = -2$ のとき $y = 5$

* 最小値は $x = 1$ のとき $y = -4$

3. 最終的な答え

最大値：5 ($x = -2$のとき)

最小値：-4 ($x = 1$のとき)