問題は次の2つの数列の和を、総和の記号（$\Sigma$）を使わずに、各項を書き並べて表す問題です。 (1) $\sum_{k=1}^{n} 2 \cdot 3^k$ (2) $\sum_{k=2}^{5} (k^3 - 8)$

1. 問題の内容

問題は次の2つの数列の和を、総和の記号（$\Sigma$）を使わずに、各項を書き並べて表す問題です。

(1) $\sum_{k=1}^{n} 2 \cdot 3^k$

(2) $\sum_{k=2}^{5} (k^3 - 8)$

2. 解き方の手順

(1) $\sum_{k=1}^{n} 2 \cdot 3^k$ の場合：

総和の記号を展開し、kに1からnまでの整数を代入します。

$k=1$ のとき、$2 \cdot 3^1 = 2 \cdot 3 = 6$

$k=2$ のとき、$2 \cdot 3^2 = 2 \cdot 9 = 18$

$k=3$ のとき、$2 \cdot 3^3 = 2 \cdot 27 = 54$

...

$k=n$ のとき、$2 \cdot 3^n$

したがって、

$\sum_{k=1}^{n} 2 \cdot 3^k = 6 + 18 + 54 + \dots + 2 \cdot 3^n$

(2) $\sum_{k=2}^{5} (k^3 - 8)$ の場合：

総和の記号を展開し、kに2から5までの整数を代入します。

$k=2$ のとき、$(2^3 - 8) = (8 - 8) = 0$

$k=3$ のとき、$(3^3 - 8) = (27 - 8) = 19$

$k=4$ のとき、$(4^3 - 8) = (64 - 8) = 56$

$k=5$ のとき、$(5^3 - 8) = (125 - 8) = 117$

したがって、

$\sum_{k=2}^{5} (k^3 - 8) = 0 + 19 + 56 + 117$

3. 最終的な答え

(1) $6 + 18 + 54 + \dots + 2 \cdot 3^n$

(2) $0 + 19 + 56 + 117$