数列 $\{a_n\}$ があり、$a_1 = 1$ であり、すべての自然数 $n$ に対して、$a_{n+1} = \frac{4-a_n}{3-a_n}$ を満たす。 (1) $a_2$, $a_3$, $a_4$ の値を求め、一般項 $a_n$ を推測する。 (2) (1) で推測した $a_n$ が正しいことを証明する。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ があり、$a_1 = 1$ であり、すべての自然数 $n$ に対して、$a_{n+1} = \frac{4-a_n}{3-a_n}$ を満たす。

(1) $a_2$, $a_3$, $a_4$ の値を求め、一般項 $a_n$ を推測する。

(2) (1) で推測した $a_n$ が正しいことを証明する。

2. 解き方の手順

(1) まず、$a_2$, $a_3$, $a_4$ を計算する。

$a_2 = \frac{4-a_1}{3-a_1} = \frac{4-1}{3-1} = \frac{3}{2}$

$a_3 = \frac{4-a_2}{3-a_2} = \frac{4-\frac{3}{2}}{3-\frac{3}{2}} = \frac{\frac{5}{2}}{\frac{3}{2}} = \frac{5}{3}$

$a_4 = \frac{4-a_3}{3-a_3} = \frac{4-\frac{5}{3}}{3-\frac{5}{3}} = \frac{\frac{7}{3}}{\frac{4}{3}} = \frac{7}{4}$

$a_1 = \frac{3}{3} = 1$

$a_2 = \frac{3}{2}$

$a_3 = \frac{5}{3}$

$a_4 = \frac{7}{4}$

分子は $2n+1$, 分母は $n+1$ となるので、$a_n = \frac{2n-1}{n}$と推測できる。

(2) 数学的帰納法で証明する。

(i) $n=1$ のとき、$a_1 = \frac{2(1)-1}{1} = 1$ であり、成り立つ。

(ii) $n=k$ のとき、$a_k = \frac{2k-1}{k}$ が成り立つと仮定する。このとき、$n=k+1$ のとき、$a_{k+1} = \frac{4-a_k}{3-a_k}$ であるから、

$a_{k+1} = \frac{4-\frac{2k-1}{k}}{3-\frac{2k-1}{k}} = \frac{\frac{4k-(2k-1)}{k}}{\frac{3k-(2k-1)}{k}} = \frac{2k+1}{k+1}$

これは、$n=k+1$ のときも $a_n = \frac{2n-1}{n}$ が成り立つことを示している。

したがって、すべての自然数 $n$ に対して、$a_n = \frac{2n-1}{n}$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

$a_2 = \frac{3}{2}$

$a_3 = \frac{5}{3}$

$a_4 = \frac{7}{4}$

$a_n = \frac{2n-1}{n}$