4次方程式 $3x^4 - 4x^3 - 12x^2 + 5 = 0$ は、正の解を何個持つか。

1. 問題の内容

4次方程式 $3x^4 - 4x^3 - 12x^2 + 5 = 0$ は、正の解を何個持つか。

2. 解き方の手順

まず、関数 $f(x) = 3x^4 - 4x^3 - 12x^2 + 5$ を定義します。正の解の個数を調べるために、$f(x)$ の導関数を求め、増減を調べます。

$f'(x) = 12x^3 - 12x^2 - 24x = 12x(x^2 - x - 2) = 12x(x - 2)(x + 1)$

$f'(x) = 0$ となる $x$ は、$x = 0, 2, -1$ です。$x > 0$ の範囲では、$x = 0$ と $x = 2$ が重要です。

次に、$x > 0$ における $f(x)$ の増減を調べます。

- $0 < x < 2$ のとき、$f'(x) < 0$ なので、$f(x)$ は減少します。

- $x > 2$ のとき、$f'(x) > 0$ なので、$f(x)$ は増加します。

したがって、$x = 2$ で極小値を持ちます。

$f(0) = 5 > 0$

$f(2) = 3(2^4) - 4(2^3) - 12(2^2) + 5 = 48 - 32 - 48 + 5 = -27 < 0$

$x \to \infty$ のとき、$f(x) \to \infty$ です。

$f(0) = 5 > 0$ で、$0 < x < 2$ で $f(x)$ は減少し、$f(2) = -27 < 0$ なので、$0 < x < 2$ の範囲で少なくとも1つの解を持ちます。

$x > 2$ で $f(x)$ は増加し、$x \to \infty$ で $f(x) \to \infty$ なので、$x > 2$ の範囲で少なくとも1つの解を持ちます。

よって、$f(x) = 0$ は正の解を少なくとも2つ持ちます。

ここで、$f(x)$は4次関数なので、最大で4つの解を持ちます。

3. 最終的な答え

2個