与えられた行列 $A = \begin{bmatrix} 5 & -4 & -2 \\ 6 & -5 & -2 \\ 3 & -3 & 2 \end{bmatrix}$ について、以下の2つの問題を解きます。 (1) $\det(A - tE) = 0$ となるような実数 $t$ をすべて求めます。ただし、$E$ は単位行列です。 (2) (1) で求めた $t$ の各値に対して、連立1次方程式 $(A - tE)x = 0$ の一般解を求めます。

1. 問題の内容

与えられた行列 $A = \begin{bmatrix} 5 & -4 & -2 \\ 6 & -5 & -2 \\ 3 & -3 & 2 \end{bmatrix}$ について、以下の2つの問題を解きます。

(1) $\det(A - tE) = 0$ となるような実数 $t$ をすべて求めます。ただし、$E$ は単位行列です。

(2) (1) で求めた $t$ の各値に対して、連立1次方程式 $(A - tE)x = 0$ の一般解を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $\det(A - tE) = 0$ を満たす $t$ を求める。

$A - tE = \begin{bmatrix} 5-t & -4 & -2 \\ 6 & -5-t & -2 \\ 3 & -3 & 2-t \end{bmatrix}$

$\det(A - tE) = (5-t)((-5-t)(2-t) - 6) - (-4)(6(2-t) - (-6)) + (-2)(-18 - 3(-5-t))$

$= (5-t)(-10+5t-2t+t^2-6) + 4(12-6t+6) - 2(-18+15+3t)$

$= (5-t)(t^2+3t-16) + 4(18-6t) - 2(-3+3t)$

$= 5t^2+15t-80-t^3-3t^2+16t + 72 - 24t + 6 - 6t$

$= -t^3 + 2t^2 + t - 2 = 0$

$t^3 - 2t^2 - t + 2 = 0$

因数定理より、$t = 1$ を代入すると $1 - 2 - 1 + 2 = 0$ となるため、$t - 1$ を因数に持ちます。

$t^3 - 2t^2 - t + 2 = (t - 1)(t^2 - t - 2) = (t - 1)(t - 2)(t + 1) = 0$

したがって、$t = 1, 2, -1$ です。

(2) (1) で求めた $t$ の各値に対して、連立1次方程式 $(A - tE)x = 0$ の一般解を求める。

(i) $t = 1$ のとき

$A - E = \begin{bmatrix} 4 & -4 & -2 \\ 6 & -6 & -2 \\ 3 & -3 & 1 \end{bmatrix}$

$(A - E)x = 0$ を解きます。

$\begin{bmatrix} 4 & -4 & -2 \\ 6 & -6 & -2 \\ 3 & -3 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

簡約化すると、

$\begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

$x_1 - x_2 = 0$, $x_3 = 0$

$x_1 = x_2$

$x = c \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ ($c$ は任意定数)

(ii) $t = 2$ のとき

$A - 2E = \begin{bmatrix} 3 & -4 & -2 \\ 6 & -7 & -2 \\ 3 & -3 & 0 \end{bmatrix}$

$(A - 2E)x = 0$ を解きます。

$\begin{bmatrix} 3 & -4 & -2 \\ 6 & -7 & -2 \\ 3 & -3 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

簡約化すると、

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & -2/3 \\ 0 & 1 & -2/3 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

$x_1 = (2/3)x_3$, $x_2 = (2/3)x_3$

$x = c \begin{bmatrix} 2 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}$ ($c$ は任意定数)

(iii) $t = -1$ のとき

$A + E = \begin{bmatrix} 6 & -4 & -2 \\ 6 & -4 & -2 \\ 3 & -3 & 3 \end{bmatrix}$

$(A + E)x = 0$ を解きます。

$\begin{bmatrix} 6 & -4 & -2 \\ 6 & -4 & -2 \\ 3 & -3 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

簡約化すると、

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

$x_1 = x_3$, $x_2 = 2x_3$

$x = c \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}$ ($c$ は任意定数)

3. 最終的な答え

(1) $t = 1, 2, -1$

(2)

$t = 1$ のとき、一般解は $x = c \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ ($c$ は任意定数)

$t = 2$ のとき、一般解は $x = c \begin{bmatrix} 2 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}$ ($c$ は任意定数)

$t = -1$ のとき、一般解は $x = c \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}$ ($c$ は任意定数)