この問題は、以下の4つの小問から構成されています。 (1) 2次関数 $y = -2x^2$ のグラフをx軸方向に3移動したものを表す2次関数を求める。 (2) 2次関数 $y = -x^2 + 2x + 5$ のグラフの頂点の座標を求める。 (3) 2次関数 $y = 2(x-1)^2 - 4$ ($0 \leq x \leq 3$) の最大値と最小値を求める。 (4) 2次不等式 $x(x+2) > 0$ の解を求める。

## 問題の回答

1. 問題の内容

この問題は、以下の4つの小問から構成されています。

(1) 2次関数 $y = -2x^2$ のグラフをx軸方向に3移動したものを表す2次関数を求める。

(2) 2次関数 $y = -x^2 + 2x + 5$ のグラフの頂点の座標を求める。

(3) 2次関数 $y = 2(x-1)^2 - 4$ ($0 \leq x \leq 3$) の最大値と最小値を求める。

(4) 2次不等式 $x(x+2) > 0$ の解を求める。

2. 解き方の手順

(1) x軸方向に3移動ということは、xを(x-3)に置き換えることで実現できます。

$y = -2(x-3)^2$

$y = -2(x^2 - 6x + 9)$

$y = -2x^2 + 12x - 18$

(2) 頂点を求めるために、平方完成を行います。

$y = -x^2 + 2x + 5$

$y = -(x^2 - 2x) + 5$

$y = -(x^2 - 2x + 1 - 1) + 5$

$y = -(x-1)^2 + 1 + 5$

$y = -(x-1)^2 + 6$

よって、頂点の座標は(1, 6)です。

(3) 与えられた2次関数は $y = 2(x-1)^2 - 4$ で、これは頂点が(1, -4)の放物線を表します。軸はx=1です。

定義域は $0 \leq x \leq 3$ です。

x=0のとき、$y = 2(0-1)^2 - 4 = 2 - 4 = -2$

x=1のとき、$y = 2(1-1)^2 - 4 = -4$

x=3のとき、$y = 2(3-1)^2 - 4 = 2(2)^2 - 4 = 8 - 4 = 4$

したがって、最大値は4 (x=3のとき)、最小値は-4 (x=1のとき)です。

(4) 2次不等式 $x(x+2) > 0$ を解きます。

$x(x+2) = 0$ となるのは $x = 0$ または $x = -2$ のときです。

数直線を考えて、x < -2, -2 < x < 0, x > 0 の3つの範囲で符号を調べます。

- x < -2 のとき、例えばx = -3とすると、(-3)(-3+2) = (-3)(-1) = 3 > 0

- -2 < x < 0 のとき、例えばx = -1とすると、(-1)(-1+2) = (-1)(1) = -1 < 0

- x > 0 のとき、例えばx = 1とすると、(1)(1+2) = (1)(3) = 3 > 0

したがって、$x < -2$ または $x > 0$ が解です。

3. 最終的な答え

(1) $y = -2x^2 + 12x - 18$

(2) (1, 6)

(3) 最大値: 4, 最小値: -4

(4) $x < -2$ または $x > 0$