直角双曲線 $y = \frac{ax+1}{bx+2}$ の漸近線が $x=3$ と $y=2$ であるとき、$a$ と $b$ の値を求めよ。

## 問題1

1. 問題の内容

直角双曲線 $y = \frac{ax+1}{bx+2}$ の漸近線が $x=3$ と $y=2$ であるとき、$a$ と $b$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

* 漸近線が $x=3$ であることから、$bx+2=0$ となる $x$ が 3 であるため、$b(3) + 2 = 0$ が成り立ちます。 これより、$3b = -2$ となり、$b = -\frac{2}{3}$ が得られます。

* 漸近線が $y=2$ であることから、$y = \frac{a}{b}$ が成り立ちます。 したがって、$2 = \frac{a}{b}$ です。$b = -\frac{2}{3}$ を代入すると、$2 = \frac{a}{-\frac{2}{3}}$ となり、$a = 2 \cdot (-\frac{2}{3}) = -\frac{4}{3}$ が得られます。

3. 最終的な答え

$a = -\frac{4}{3}$

$b = -\frac{2}{3}$

## 問題2

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{bx+1}{x-a}$ ($a>0$, $b>0$) の定義域が $\{x | -a \le x \le 0\}$ であり、値域が $\{y | -1 \le y \le 1\}$ であるとき、定数 $a$, $b$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

* $x=-a$ のとき、$y=-1$ となるため、$\frac{-ab+1}{-a-a} = -1$ が成り立ちます。 これより、$-ab+1 = 2a$ が得られます。

* $x=0$ のとき、$y=1$ となるため、$\frac{1}{-a} = 1$ または $\frac{1}{-a} = -1$ が成り立ちます。 $a>0$ より、$y$は減少関数となるので、$x=0$のとき、$y=-1$となるので、$\frac{1}{-a}=-1$より、$a=1$。

* $a=1$を$-ab+1=2a$に代入すると、$-b+1=2$。したがって、$b=-1$ となる。

しかし、$b>0$の条件に反するため、$x=-a$ のとき、$y=1$、$x=0$のとき、$y=-1$となることを考慮する。

$x=-a$ のとき、$y=1$となるため、$\frac{-ab+1}{-a-a} = 1$ が成り立ちます。 これより、$-ab+1 = -2a$ が得られます。

$x=0$ のとき、$y=-1$となるため、$\frac{1}{-a} = -1$。したがって、$a=1$。

$a=1$を$-ab+1=-2a$に代入すると、$-b+1=-2$。したがって、$b=3$ となる。

$a=1, b=3$は$a>0, b>0$を満たす。

3. 最終的な答え

$a = 1$

$b = 3$

## 問題3

1. 問題の内容

分数関数 $f(x) = \frac{ax+b}{cx+d}$ ($c \neq 0$, $ad-bc \neq 0$) について以下の問いに答えよ。

(1) $f(x)$ の逆関数 $f^{-1}(x)$ を求めよ。

(2) $f(x) = f^{-1}(x)$ となる条件を求めよ。

(3) $f(x) = f^{-1}(x)$, $f(0) = -1$, $f(3) = 2$ となる $f(x)$ を求めよ。

(4) (3) で求めた $f(x)$ に対し、$f(h(x)) = -x$ となる $h(x)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $y = \frac{ax+b}{cx+d}$ とする。 $x$ について解く。

$y(cx+d) = ax+b$

$cxy + dy = ax + b$

$cxy - ax = b - dy$

$x(cy-a) = b-dy$

$x = \frac{-dy+b}{cy-a}$

$f^{-1}(x) = \frac{-dx+b}{cx-a}$

(2) $f(x) = f^{-1}(x)$ となる条件は、$\frac{ax+b}{cx+d} = \frac{-dx+b}{cx-a}$。

係数を比較すると、$a = -d$ より、$a+d=0$。

(3) $f(x) = f^{-1}(x)$ より、$a+d = 0$, $d = -a$。

$f(x) = \frac{ax+b}{cx-a}$

$f(0) = -1$ より、$\frac{b}{-a} = -1$, $b = a$。

$f(x) = \frac{ax+a}{cx-a}$

$f(3) = 2$ より、$\frac{3a+a}{3c-a} = 2$, $\frac{4a}{3c-a} = 2$, $4a = 6c-2a$, $6a = 6c$, $c = a$。

$f(x) = \frac{ax+a}{ax-a} = \frac{a(x+1)}{a(x-1)} = \frac{x+1}{x-1}$

(4) $f(h(x)) = -x$

$\frac{h(x)+1}{h(x)-1} = -x$

$h(x)+1 = -x(h(x)-1)$

$h(x)+1 = -xh(x)+x$

$h(x)+xh(x) = x-1$

$h(x)(1+x) = x-1$

$h(x) = \frac{x-1}{x+1}$

3. 最終的な答え

(1) $f^{-1}(x) = \frac{-dx+b}{cx-a}$

(2) $a+d = 0$

(3) $f(x) = \frac{x+1}{x-1}$

(4) $h(x) = \frac{x-1}{x+1}$

## 問題4

申し訳ありません。この問題はまだ解けません。