与えられた二次関数の最大値と最小値を、指定された範囲で求めます。問題は2つあります。 (1) $y = x^2 - 2x + 2$ ($ -1 \le x \le 2$) (2) $y = -x^2 + 4x - 1$ ($ 0 \le x \le 1$)

1. 問題の内容

与えられた二次関数の最大値と最小値を、指定された範囲で求めます。問題は2つあります。

(1) $y = x^2 - 2x + 2$ ($-1 \le x \le 2$)

(2) $y = -x^2 + 4x - 1$ ($0 \le x \le 1$)

2. 解き方の手順

(1) $y = x^2 - 2x + 2$ について

まず、平方完成を行い、頂点を求めます。

$y = (x - 1)^2 - 1 + 2$

$y = (x - 1)^2 + 1$

頂点は$(1, 1)$です。定義域 $-1 \le x \le 2$ における最大値と最小値を考えます。

頂点では最小値 $1$ をとります。

$x = -1$ のとき、 $y = (-1 - 1)^2 + 1 = (-2)^2 + 1 = 4 + 1 = 5$

$x = 2$ のとき、 $y = (2 - 1)^2 + 1 = 1^2 + 1 = 1 + 1 = 2$

よって、最大値は $5$ ($x = -1$)、最小値は $1$ ($x = 1$) です。

(2) $y = -x^2 + 4x - 1$ について

まず、平方完成を行い、頂点を求めます。

$y = -(x^2 - 4x) - 1$

$y = -(x^2 - 4x + 4 - 4) - 1$

$y = -(x - 2)^2 + 4 - 1$

$y = -(x - 2)^2 + 3$

頂点は$(2, 3)$です。定義域 $0 \le x \le 1$ における最大値と最小値を考えます。

$x = 0$ のとき、$y = -(0 - 2)^2 + 3 = -4 + 3 = -1$

$x = 1$ のとき、$y = -(1 - 2)^2 + 3 = -1 + 3 = 2$

頂点は範囲外なので、$x = 1$ で最大値、$x=0$で最小値を取ります。

よって、最大値は $2$ ($x = 1$)、最小値は $-1$ ($x = 0$) です。

3. 最終的な答え

(1) 最大値: 5, 最小値: 1

(2) 最大値: 2, 最小値: -1