$a$を定数とする。2つの2次方程式 $2x^2 - ax - (2a+2) = 0$ $x^2 - (a+2)x + (a+7) = 0$ が共通解をただ1つだけ持つとき、その共通解と$a$の値を求めよ。

1. 問題の内容

$a$を定数とする。2つの2次方程式

$2x^2 - ax - (2a+2) = 0$

$x^2 - (a+2)x + (a+7) = 0$

が共通解をただ1つだけ持つとき、その共通解と$a$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

共通解を$\alpha$とすると、

$2\alpha^2 - a\alpha - (2a+2) = 0$ ...(1)

$\alpha^2 - (a+2)\alpha + (a+7) = 0$ ...(2)

(2)式の両辺を2倍すると、

$2\alpha^2 - 2(a+2)\alpha + 2(a+7) = 0$

$2\alpha^2 - (2a+4)\alpha + (2a+14) = 0$ ...(3)

(1)-(3)より、

$[2\alpha^2 - a\alpha - (2a+2)] - [2\alpha^2 - (2a+4)\alpha + (2a+14)] = 0$

$-a\alpha + (2a+4)\alpha - (2a+2) - (2a+14) = 0$

$(a+4)\alpha - (4a+16) = 0$

$(a+4)\alpha - 4(a+4) = 0$

$(a+4)(\alpha-4) = 0$

したがって、$a = -4$ または $\alpha = 4$

(i) $a = -4$のとき、

$2x^2 + 4x - (-8+2) = 0$

$2x^2 + 4x + 6 = 0$

$x^2 + 2x + 3 = 0$

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{4-12}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{-8}}{2} = -1 \pm i\sqrt{2}$

$x^2 - (-4+2)x + (-4+7) = 0$

$x^2 + 2x + 3 = 0$

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{4-12}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{-8}}{2} = -1 \pm i\sqrt{2}$

このとき共通解は2つとなるため、$a=-4$は不適。

(ii) $\alpha = 4$のとき、

(1)に代入して、

$2(4^2) - a(4) - (2a+2) = 0$

$32 - 4a - 2a - 2 = 0$

$30 - 6a = 0$

$6a = 30$

$a = 5$

このとき、

$2x^2 - 5x - (10+2) = 0$

$2x^2 - 5x - 12 = 0$

$(2x+3)(x-4) = 0$

$x = 4, -\frac{3}{2}$

$x^2 - (5+2)x + (5+7) = 0$

$x^2 - 7x + 12 = 0$

$(x-3)(x-4) = 0$

$x = 3, 4$

共通解は$x=4$のみである。

3. 最終的な答え

共通解は$4$であり、$a = 5$である。