関数 $y = ax^2 + bx + c$ のグラフが与えられている。 (1) $a$, $b$, $c$, $b^2 - 4ac$, $a + b + c$ の符号を判定せよ。 (2) $a$ と $b$ の値を固定し、$c$ の値のみを変化させたとき、以下のうち変化しないものをすべて選べ。また、変化しない理由を説明せよ。 1. グラフと $x$ 軸との共有点の個数 2. グラフの頂点の $x$ 座標の符号 3. グラフの頂点の $y$ 座標の符号

1. 問題の内容

関数 $y = ax^2 + bx + c$ のグラフが与えられている。

(1) $a$, $b$, $c$, $b^2 - 4ac$, $a + b + c$ の符号を判定せよ。

(2) $a$ と $b$ の値を固定し、$c$ の値のみを変化させたとき、以下のうち変化しないものをすべて選べ。また、変化しない理由を説明せよ。

1. グラフと $x$ 軸との共有点の個数

2. グラフの頂点の $x$ 座標の符号

3. グラフの頂点の $y$ 座標の符号

2. 解き方の手順

(1)

- $a$ の符号: グラフは上に凸なので、$a < 0$ (負)。

- $b$ の符号: グラフの軸は $x = -\frac{b}{2a}$ である。グラフより、軸は $x > 0$ の範囲にある。$a < 0$ なので、$-\frac{b}{2a} > 0$ より、$b > 0$ (正)。

- $c$ の符号: グラフは $y$ 軸との交点の $y$ 座標を表す。グラフより、$y$ 軸との交点の $y$ 座標は正なので、$c > 0$ (正)。

- $b^2 - 4ac$ の符号: グラフは $x$ 軸と2つの交点を持つので、$b^2 - 4ac > 0$ (正)。

- $a + b + c$ の符号: $x = 1$ のとき、$y = a(1)^2 + b(1) + c = a + b + c$ である。グラフより、$x = 1$ のとき、$y > 0$ なので、$a + b + c > 0$ (正)。

(2)

- グラフと $x$ 軸との共有点の個数: $c$ の値を変化させると、グラフが上下に平行移動する。したがって、$x$ 軸との共有点の個数は変化する。

- グラフの頂点の $x$ 座標の符号: 頂点の $x$ 座標は $-\frac{b}{2a}$ であり、$a$ と $b$ の値が固定されているため、$c$ の値を変化させても頂点の $x$ 座標は変化しない。よって、頂点の $x$ 座標の符号も変化しない。

- グラフの頂点の $y$ 座標の符号: 頂点の $y$ 座標は $y = c - \frac{b^2}{4a}$ であり、$c$ の値を変えると、頂点の $y$ 座標も変わるので、頂点の $y$ 座標の符号は変化する可能性がある。

3. 最終的な答え

(1)

- $a$: 負

- $b$: 正

- $c$: 正

- $b^2 - 4ac$: 正

- $a + b + c$: 正

(2)

- 変わらないもの: ② グラフの頂点の $x$ 座標の符号

- 理由: 頂点の $x$ 座標は $-\frac{b}{2a}$ であり、$a$ と $b$ の値が固定されているため、$c$ の値を変化させても頂点の $x$ 座標は変化しない。