次の放物線と直線が共有点を持つかどうかを調べ、共有点を持つ場合はその座標を求めます。 (1) $y=x^2$, $y=-x+6$ (2) $y=x^2-2x$, $y=2x-4$ (3) $y=-x^2$, $y=x+1$

1. 問題の内容

次の放物線と直線が共有点を持つかどうかを調べ、共有点を持つ場合はその座標を求めます。

(1) $y=x^2$, $y=-x+6$

(2) $y=x^2-2x$, $y=2x-4$

(3) $y=-x^2$, $y=x+1$

2. 解き方の手順

放物線と直線の共有点を求めるには、それぞれの $y$ を等しいとおいて、$x$ についての二次方程式を解きます。判別式 $D$ を計算し、$D > 0$ ならば共有点は2つ、$D = 0$ ならば共有点は1つ、$D < 0$ ならば共有点はありません。共有点を持つ場合、得られた $x$ の値をいずれかの式に代入して $y$ の値を求めます。

(1) $y=x^2$, $y=-x+6$

$x^2 = -x+6$

$x^2 + x - 6 = 0$

$(x+3)(x-2) = 0$

$x = -3, 2$

$x=-3$ のとき $y = (-3)^2 = 9$

$x=2$ のとき $y = (2)^2 = 4$

したがって、共有点は $(-3, 9)$ と $(2, 4)$ です。

(2) $y=x^2-2x$, $y=2x-4$

$x^2 - 2x = 2x - 4$

$x^2 - 4x + 4 = 0$

$(x-2)^2 = 0$

$x = 2$

$x=2$ のとき $y = 2(2) - 4 = 0$

したがって、共有点は $(2, 0)$ です。

(3) $y=-x^2$, $y=x+1$

$-x^2 = x+1$

$x^2 + x + 1 = 0$

判別式 $D = 1^2 - 4(1)(1) = 1 - 4 = -3 < 0$

したがって、共有点はありません。

3. 最終的な答え

(1) 共有点は $(-3, 9)$ と $(2, 4)$

(2) 共有点は $(2, 0)$

(3) 共有点はない