与えられた4つの等式が $x$ についての恒等式となるように、それぞれの等式に含まれる未知数 ($a$, $b$, $c$, $d$) の値を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた4つの等式が $x$ についての恒等式となるように、それぞれの等式に含まれる未知数 ($a$, $b$, $c$, $d$) の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

それぞれの等式について、以下の手順で解きます。

(1) $x^2 + 7x + 6 = (ax+b)(x+1)$

右辺を展開します：

$x^2 + 7x + 6 = ax^2 + ax + bx + b = ax^2 + (a+b)x + b$

両辺の係数を比較します：

$x^2$ の係数: $a = 1$

定数項: $b = 6$

$x$ の係数: $a + b = 7$ (これは $a=1$, $b=6$ と整合性があります)

(2) $ax^2 + bx = (x-2)(x+2) + c(x+2)^2$

右辺を展開します：

$ax^2 + bx = x^2 - 4 + c(x^2 + 4x + 4) = x^2 - 4 + cx^2 + 4cx + 4c = (1+c)x^2 + 4cx + (4c-4)$

両辺の係数を比較します：

$x^2$ の係数: $a = 1+c$

$x$ の係数: $b = 4c$

定数項: $0 = 4c - 4$

定数項の式より、$4c = 4$, よって $c = 1$。

$a = 1+c = 1+1 = 2$

$b = 4c = 4(1) = 4$

(3) $x^2 = a(x-2)^2 + b(x-2) + c$

右辺を展開します：

$x^2 = a(x^2 - 4x + 4) + b(x-2) + c = ax^2 - 4ax + 4a + bx - 2b + c = ax^2 + (-4a+b)x + (4a-2b+c)$

両辺の係数を比較します：

$x^2$ の係数: $a = 1$

$x$ の係数: $-4a + b = 0$

定数項: $4a - 2b + c = 0$

$a=1$ なので、$-4(1) + b = 0$ より $b = 4$。

$4(1) - 2(4) + c = 0$ より $4 - 8 + c = 0$, よって $c = 4$。

(4) $a(x-1)^3 + b(x-1)^2 + c(x-1) + d = x^3$

右辺を展開します：

$a(x^3 - 3x^2 + 3x - 1) + b(x^2 - 2x + 1) + c(x-1) + d = x^3$

$ax^3 - 3ax^2 + 3ax - a + bx^2 - 2bx + b + cx - c + d = x^3$

$ax^3 + (-3a+b)x^2 + (3a-2b+c)x + (-a+b-c+d) = x^3$

両辺の係数を比較します：

$x^3$ の係数: $a = 1$

$x^2$ の係数: $-3a + b = 0$

$x$ の係数: $3a - 2b + c = 0$

定数項: $-a + b - c + d = 0$

$a=1$ なので、$-3(1) + b = 0$ より $b = 3$。

$3(1) - 2(3) + c = 0$ より $3 - 6 + c = 0$, よって $c = 3$。

$-1 + 3 - 3 + d = 0$ より $-1 + d = 0$, よって $d = 1$。

3. 最終的な答え

(1) $a=1$, $b=6$

(2) $a=2$, $b=4$, $c=1$

(3) $a=1$, $b=4$, $c=4$

(4) $a=1$, $b=3$, $c=3$, $d=1$