与えられた2次関数のグラフがx軸に接するときの定数 $m$ の値を求め、そのときの接点の座標を求めます。

1. 問題の内容

与えられた2次関数のグラフがx軸に接するときの定数 $m$ の値を求め、そのときの接点の座標を求めます。

2. 解き方の手順

2次関数のグラフがx軸に接するとき、2次方程式の判別式 $D$ は $D = 0$ となります。判別式を用いて $m$ の値を求め、得られた $m$ の値を元の2次関数に代入し、接点のx座標を求めます。最後に、接点のy座標は0なので、接点の座標を求めます。

(1) $y = x^2 + mx + 1$ の場合：

判別式 $D = m^2 - 4(1)(1) = m^2 - 4$

グラフがx軸に接するとき、$D = 0$ なので、

$m^2 - 4 = 0$

$m^2 = 4$

$m = \pm 2$

$m = 2$ のとき、$y = x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2$

接点のx座標は $x = -1$ なので、接点の座標は $(-1, 0)$。

$m = -2$ のとき、$y = x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2$

接点のx座標は $x = 1$ なので、接点の座標は $(1, 0)$。

(2) $y = x^2 - 2mx + m$ の場合：

判別式 $D = (-2m)^2 - 4(1)(m) = 4m^2 - 4m$

グラフがx軸に接するとき、$D = 0$ なので、

$4m^2 - 4m = 0$

$4m(m - 1) = 0$

$m = 0$ または $m = 1$

$m = 0$ のとき、$y = x^2$

接点のx座標は $x = 0$ なので、接点の座標は $(0, 0)$。

$m = 1$ のとき、$y = x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2$

接点のx座標は $x = 1$ なので、接点の座標は $(1, 0)$。

3. 最終的な答え

(1)

$m = 2$ のとき、接点の座標は $(-1, 0)$

$m = -2$ のとき、接点の座標は $(1, 0)$

(2)

$m = 0$ のとき、接点の座標は $(0, 0)$

$m = 1$ のとき、接点の座標は $(1, 0)$